Abitur

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ένα θέμα από Abitur.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 2-\frac{12}{e^{3x} + 3},x\in R$ .

α) Nα μελετήσετε την

ως προς τα σημεία τομής με τον x’x, τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

β) Να δείξετε ότι για κάθε $t\in R$ ισχύει $f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = - f( \frac{1}{3}ln3 + t ).$

Ποια είναι η σημασία της σχέσης αυτής για τη γραφική παράσταση;

γ) Να δείξετε ότι για κάθε $x\in R$ ισχύει: $2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} .$

δ) (εκτός ύλης) Να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα $\int_{\frac{1}{3}ln3}^{+\infty }2-f(x)dx$ υπάρχει (στο

).

M.S.Vovos · #2

Λαμπρό καλησπέρα. Αν έχεις και άλλα θέματα από ξένες εξετάσεις μη διστάσεις να τα ανεβάσεις. Τα βρίσκω πολύ ενδιαφέροντα.

Σταμ. Γλάρος · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 11:20 am
Ένα θέμα από Abitur.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 2-\frac{12}{e^{3x} + 3},x\in R$ .

α) Nα μελετήσετε την ως προς τα σημεία τομής με τον x’x, τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής.

β) Να δείξετε ότι για κάθε $t\in R$ ισχύει $f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = - f( \frac{1}{3}ln3 + t ).$

Ποια είναι η σημασία της σχέσης αυτής για τη γραφική παράσταση;

γ) Να δείξετε ότι για κάθε $x\in R$ ισχύει: $2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} .$

δ) (εκτός ύλης) Να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα $\int_{\frac{1}{3}ln3}^{+\infty }2-f(x)dx$ υπάρχει (στο ).

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=\dfrac{36e^{3x}}{\left (e^{3x}+3 \right )^{2}}>0$ .
Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Επομένως δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Επίσης η

είναι παραγωγίσιμη με $f''(x)=\dfrac{108e^{3x}\left ( 3-e^{3x} \right )}{\left ( e^{3x}+3 \right )^3}$ .
Είναι f''(x)=0

$\Leftrightarrow$ $x=\frac{ln3}{3}$ , $f''(x)>0\,\,\,\ \forall x\in \left (-\infty,\dfrac{ln3}{3} \right )$ και $f''(x)<0\,\,\,\ \forall x\in \left (\dfrac{ln3}{3} ,+\infty \right )$ .
Άρα η C_f

παρουσιάζει σημείο καμπής το $K\left ( \dfrac{ln3}{3} , 0 \right )$ .

β) Μετά πράξεις έχουμε $f( \frac{1}{3}ln3 - t ) = \dfrac{2-2e^{3t}}{1+e^{3t}} = - f( \frac{1}{3}ln3 + t )$ .
Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι η C_f

έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο καμπής

.

γ) Είναι: $2 - f(x) \leq 6 e^{-\frac{3x}{2}} \Leftrightarrow e^{3x}+3\geq 2e^{-\frac{3x}{2}} \Leftrightarrow \left ( e^{-\frac{3x}{2}}-1 \right )^{2}+2\geq 0$ , ισχύει.

Επειδή είναι ... αργά για το δ) θα επανέλθω !
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #4

Να το συνεχίσω Σταμάτη

δ)

$\displaystyle \begin{gathered} \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {\frac{{12}}{{{e^{3x}} + 3}}} \,dx\mathop = \limits^{\left\{ \begin{subarray}{l} 3x = \ln y \Leftrightarrow y = {e^{3x}} \\ dx = \frac{1}{{3y}}dy \end{subarray} \right\}} \int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{4}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{3}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 3}}} \,dy \hfill \\ \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\left( {\ln y - \ln \left( {y + 3} \right)} \right)'} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {{{\left( {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right)}^\prime }} \,dy = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right]_3^{{e^{3t}}} = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] \hfill \\ \end{gathered}$

Έχουμε, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}}\mathop = \limits^{\frac{\infty }{\infty },DLH} \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}}}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)$

Άρα $\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^{ + \infty } {2 - f\left( x \right)} \,dx = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {\int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx} \right) = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)$

Δηλαδή δείξαμε ότι υπάρχει.

Υ.Γ.: Μια φορά να μην κάνω ένα λάθος , μια φορά όμως!

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Καλημέρα σας και ευχαριστώ. Για το τελευταίο ερώτημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το αποτέλεσμα του (γ) ερωτήματος. Το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος είναι απλούστερο να υπολογιστεί και εύκολα δείχνουμε ότι είναι ίσο με $\frac{4}{\sqrt{3}}.$

Christos.N · #6

Τι ορισμός δίνεται στο πλαίσιο αυτών των εξετάσεων; Εννοώ εκεί που το βρήκες πότε θεωρούν ότι τα γενικευμένα α' είδους συγκλίνουν;

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 14, 2018 12:02 pm
Τι ορισμός δίνεται στο πλαίσιο αυτών των εξετάσεων; Εννοώ εκεί που το βρήκες πότε θεωρούν ότι τα γενικευμένα α' είδους συγκλίνουν;

Δυστυχώς δεν έχω κάποιο βιβλίο για το κοιτάξω. Πάντως στο συγκεκριμένο η ολοκληρωτέα είναι $\geq 0$ οπότε η

συνάρτηση ολοκλήρωμα είναι γν.αύξουσα. Επειδή είναι και φραγμένη θα συγκλίνει.

Σταμ. Γλάρος · #8

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 14, 2018 11:37 am
Να το συνεχίσω Σταμάτη

δ)

$\displaystyle \begin{gathered} \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {\frac{{12}}{{{e^{3x}} + 3}}} \,dx\mathop = \limits^{\left\{ \begin{subarray}{l} 3x = \ln y \Leftrightarrow y = {e^{3x}} \\ dx = \frac{1}{{3y}}dy \end{subarray} \right\}} \int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{4}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{3}{{\left( {y + 3} \right)y}}} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 3}}} \,dy \hfill \\ \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {\left( {\ln y - \ln \left( {y + 3} \right)} \right)'} \,dy = \frac{4}{3}\int\limits_3^{{e^{3t}}} {{{\left( {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right)}^\prime }} \,dy = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{y}{{y + 3}}} \right]_3^{{e^{3t}}} = \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] \hfill \\ \end{gathered}$

Έχουμε, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}}\mathop = \limits^{\frac{\infty }{\infty },DLH} \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}}}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{4}{3}\left[ {\ln \frac{{{e^{3t}}}}{{{e^{3t}} + 3}} + \ln 2} \right] = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)$

Άρα $\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^{ + \infty } {2 - f\left( x \right)} \,dx = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {\int\limits_{\frac{1}{3}\ln 3}^t {2 - f\left( x \right)} \,dx} \right) = \frac{4}{3}\left( { \ln 2} \right)$

Δηλαδή δείξαμε ότι υπάρχει.

Υ.Γ.: Μια φορά να μην κάνω ένα λάθος , μια φορά όμως!

Χρήστο καλησπέρα. Τώρα κατάφερα να μπω στο

και είδα την καταπληκτική αντιμετώπιση του θέματος.
Θεωρώ δε ότι και με κατάλληλη διατύπωση η άσκηση είναι εντός ύλης ...
Κάνω μια προσπάθεια ... με βάση την λύση σου.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I(t)=\displaystyle{\int_{\frac{1}{3}ln3}^{t} }\left ( 2-f(x) \right )dx$ και στη συνέχεια το όριο $\displaystyle{\lim_{t\rightarrow +\infty }}I(t)$ .
H δική μου λύση ήταν παρόμοια με την λύση που αναφέρει ο Λάμπρος.
Στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα, το οποίο αναφέρεται ως Κριτήριο σύγκρισης , στο βιβλίο που έχω υπ' όψιν μου.
Είναι το : "Ασκήσεις Λογισμού συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής" της Βασιλικής Δ. Φράγκου, 2η έκδοση,
Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 2001.
Στη σελίδα 203:
Αν $\forall x \in \left [a,+\infty \right ), 0\leq f(x)\leq \phi (x)$ και $\forall t\in \left [a, +\infty \right )$ οι συναρτήσεις $f,\phi$ είναι ολοκλήρώσιμες στο [a,t]

, τότε
(i) αν υπάρχει το $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }\phi (x)dx$ , υπάρχει και το $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f (x)dx$ , ενώ
(ii) αν δεν υπάρχει το $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ , δεν υπάρχει και το $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }\phi (x)dx$ .
Εδώ, όπως βλέπουμε, δεν χρειάζεται η μονοτονία.
Φυσικά είναι εκτός ύλης αυτή η αντιμετώπιση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Abitur

Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Re: Abitur

Μέλη σε σύνδεση