Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

[grigkost]

Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το

[M.S.Vovos]

Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το

Κ. Γρηγόρη είναι σίγουρα εντάξει το όριο; Το βλέπω να μπαλατζάρει μεταξύ του και .

[grigkost]

Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το

Κ. Γρηγόρη είναι σίγουρα εντάξει το όριο; Το βλέπω να μπαλατζάρει μεταξύ του και .

Μάριε, πολύ καλά βλέπεις. Όσο για το αν είναι εντάξει, δεν ξέρω, ταλαντώνεται πάρα πολύ γρήγορα! Θα δείξει....

[grigkost]

Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το

Απολογούμαι, γιατί ενώ νόμιζα ότι είχα μια λύση, τελικά δεν έχω μια. Eκτός κι αν ισχύει ο ισχυρισμός:

Αν το υπάρχει, τότε .

ΝΥΞΗ:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ίσως βοηθούν τα περί αριθμών Pisot.

[dement]

Καλημέρα Γρηγόρη.

Χάθηκε ένα ή κάτω από τη ρίζα; Το έπρεπε να υπάρχει;

[grigkost]

Καλημέρα Γρηγόρη.

Χάθηκε ένα ή κάτω από τη ρίζα; Το έπρεπε να υπάρχει;

καλημέρα Δημήτρη.

Αν ήταν ή ή ή... κάτω από την ρίζα, δεν θα υπήρχε κάτι να μάθουμε!

[Mihalis_Lambrou]

Ας γράψω λύση σε αυτό που επισημαίνει ο Δημήτρης παραπάνω, αφού μπορεί να μην έγινε από όλους αντιλυπτό τι εννοεί.

Θέλουμε λοιπόν το όριο

Εύκολα βλέπουμε από το ανάπτυγμα του διωνύμου ότι ο αριθμός είναι
άρτιος ακέραιος για κάθε . Άρα για κάποιον ακέραιο είναι



διότι καθώς , και λοιπά.

Όμοια το από το

[Tolaso J Kos]

Πήγα να γράφω αυτά που έγραψε ο κ. Μιχάλης , διότι έχω θέσει παρόμοιο θέμα εδώ , διαπίστωσα το πρόβλημα και ΣΤΑΜΑΤΗΣΑ. Θυμήθηκα στη συνέχεια τους αριθμούς Pisot που αναφέρει και ο Γρηγόρης πάνω αλλά τα σχετικά θεωρήματα που γνωρίζω είναι για τις σειρές. Για τις ακολουθίες δεν έχω δει ή διαβάσει κάτι. Χμμμ, τροφή για έρευνα λοιπόν.

Πάντως αν μπορώ να κάνω μία εικασία μάλλον η ακολουθία ταλαντεύεται μεταξύ του και και άρα προφανώς δε συγκλίνει. Θα ήταν ενδιαφέρον ένας τρόπος με στοιχειώδη απόδειξη, αν αυτός υπάρχει.

[grigkost]

Το όριο πρέπει να μην υπάρχει, αλλά δεν νομίζω να υπάρχει μια εύκολη απόδειξη για αυτό. Το καλύτερο που γνωρίζω, προς το παρόν, είναι ότι:

Η ακολουθία των αποστάσεων του από τον πλησιέστερο ακέραιο (του ) δεν συγκλίνει στο .