Ολοκληρώσιμη ή όχι

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ολοκληρώσιμη ή όχι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 13, 2018 6:42 pm

Αν θυμάμαι καλά ήταν θέμα εξέτασης Απειροστικού λογισμού ΙΙ στο ΕΚΠΑ. Δεν θυμάμαι χρονιά. Το θυμήθηκα τώρα που ανέβασε ο κ. Γρηγόρης το θέμα με την διαφορισιμότητα.

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{ne^{nx}}, &x\geq 0 \\  
0, &x<0  
\end{matrix}\right.}
Να εξετάσετε αν η f είναι \textup{Riemann} ολοκληρώσιμη στο διάστημα \left [ -1,1 \right ].

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3508
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώσιμη ή όχι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 13, 2018 6:59 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 6:42 pm
Αν θυμάμαι καλά ήταν θέμα εξέτασης Απειροστικού λογισμού ΙΙ στο ΕΚΠΑ. Δεν θυμάμαι χρονιά. Το θυμήθηκα τώρα που ανέβασε ο κ. Γρηγόρης το θέμα με την διαφορισιμότητα.

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε:

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{ne^{nx}}, &x\geq 0 \\  
0, &x<0  
\end{matrix}\right.}
Να εξετάσετε αν η f είναι \textup{Riemann} ολοκληρώσιμη στο διάστημα \left [ -1,1 \right ].

Φιλικά,
Μάριος

Για x\geq 0 είναι
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n e^{nx}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n} = - \log (1+e^{-x})} Άρα η f γράφεται
\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
-\log(1+e^x) &,  & x \geq 0 \\  
0 & , &  x<0 
\end{matrix}\right.} Παρατηρούμε ότι
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( -\log(1+e^{-x}) \right ) = -\log 2 \neq 0 = \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) }
Οπότε η f είναι συνεχής στο (0, 1] και στο [-1, 0) αλλά όχι στο 0 το οποίο είναι ένα σημείο. Επιπλέον είναι φραγμένη. Συνεπώς η f είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Ελπίζω μην έκανα κάνα λάθος πάνω στη βιασύνη μου!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ολοκληρώσιμη ή όχι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Φεβ 17, 2018 7:33 pm

Όμορφα Τόλη. Τα ποσοστά στο μάθημα αν θυμάμαι ήταν 70-30.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης