Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Συντονιστές: Demetres, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Έστω το σύνολο όλων των υποσυνόλων του . Ορίζουμε ως το σύνολο όλων των συναρτήσεων ώστε για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι
Επεξεργασία: Διόρθωση σοβαρότατου τυπογραφικού. Δεν είναι γινόμενο αλλά άθροισμα. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Σκουτέρη που το πρόσεξε.
Να αποδειχθεί ότι
Επεξεργασία: Διόρθωση σοβαρότατου τυπογραφικού. Δεν είναι γινόμενο αλλά άθροισμα. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Σκουτέρη που το πρόσεξε.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Έστω και για κάθε Συμβολίζουμε με το σύνολο των συναρτήσεων με τη δοσμένη ιδιότητα και το σύνολο όλων των διατεταγμένων -δων όπου με για κάθε
Ισχυρισμός: Η απεικόνιση
είναι 1-1 και επί.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Η είναι καλά ορισμένη, αφού αν τότε για κάθε ισχύει
Θεωρούμε την απεικόνιση
όπου η συνάρτηση που ορίζεται από τις σχέσεις:
και
για κάθε γνήσιο υποσύνολο του
Επειδή για κάθε ισχύει
έπεται ότι και άρα η είναι καλά ορισμένη.
Από την υπόθεση, έπεται ότι για κάθε και κάθε γνήσιο υποσύνολο του ισχύει
Άρα, οι συναρτήσεις και είναι αντίστροφες, οπότε ο ισχυρισμός έπεται.
Επομένως, αρκεί να βρούμε το πλήθος των στοιχείων του . Για κάθε το πλήθος των -άδων με και για κάθε είναι ίσο με Επομένως, από την προσθετική αρχή, είναι
και το ζητούμενο δείχθηκε.
Ισχυρισμός: Η απεικόνιση
είναι 1-1 και επί.
Απόδειξη του Ισχυρισμού: Η είναι καλά ορισμένη, αφού αν τότε για κάθε ισχύει
Θεωρούμε την απεικόνιση
όπου η συνάρτηση που ορίζεται από τις σχέσεις:
και
για κάθε γνήσιο υποσύνολο του
Επειδή για κάθε ισχύει
έπεται ότι και άρα η είναι καλά ορισμένη.
Από την υπόθεση, έπεται ότι για κάθε και κάθε γνήσιο υποσύνολο του ισχύει
Άρα, οι συναρτήσεις και είναι αντίστροφες, οπότε ο ισχυρισμός έπεται.
Επομένως, αρκεί να βρούμε το πλήθος των στοιχείων του . Για κάθε το πλήθος των -άδων με και για κάθε είναι ίσο με Επομένως, από την προσθετική αρχή, είναι
και το ζητούμενο δείχθηκε.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Ας δούμε και την ακόλουθη:
Έστω το σύνολο των συναρτήσεων ώστε για κάθε , έχουμε , όπου είναι ένα πεπερασμένο σύνολο (και το δυναμοσύνολο). Να βρεθεί το
Έστω το σύνολο των συναρτήσεων ώστε για κάθε , έχουμε , όπου είναι ένα πεπερασμένο σύνολο (και το δυναμοσύνολο). Να βρεθεί το
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Σιλουανέ, δεν είναι προφανές από την λύση του Βαγγέλη ότι το μέγιστο είναι ; Ή χάνω κάτι;
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Ναι, Δημήτρη!
Το πρόβλημα είναι από Διαγωνισμό Επιλογής της Ρουμανίας 2007, απλά ήθελα να αναδείξω τη σύνδεση.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 150p848051
Το πρόβλημα είναι από Διαγωνισμό Επιλογής της Ρουμανίας 2007, απλά ήθελα να αναδείξω τη σύνδεση.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 150p848051
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Ας δούμε και μια διαφορετική απόδειξη. Αν για κάθε , δεν έχω κάτι να δείξω. Αλλιώς παίρνω με ελάχιστο μέγεθος ώστε .
Αν το δεν περιέχει το , τότε , οπότε . Αφού , τότε .
Αν το περιέχει το , από την επαγωγική υπόθεση στο σύνολο , το παίρνει το πολύ διαφορετικές τιμές. [Επειδή ισχύει ότι .]
Συνολικά λοιπόν η εικόνα της έχει το πολύ στοιχεία.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης