Πέντε παρά .. κάτι
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Πέντε παρά .. κάτι
Καλό βράδυ σε όλους.
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 11:22 pmΚαλό βράδυ σε όλους.
15-1-18 Πέντε παρά κάτι.PNG
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Edit: Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Ιαν 16, 2018 12:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Καλημέρα! Ωραία άσκηση Γιώργο!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 11:22 pmΚαλό βράδυ σε όλους.
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Σκιαγραφώ τη λύση και αφήνω τις «επίπονες» πράξεις… Φέρω με . Προφανώς το είναι ισοσκελές και με θεώρημα Stewart βρίσκουμε
Από θεώρημα διχοτόμου είναι , οπότε από νόμο συνημιτόνων στο προκύπτει
Κατόπιν, από Πυθαγόρειο, ομοιότητα βρίσκουμε τις πλευρές του
Τέλος, , δηλαδή πέντε πάρα κάτι ψιλά…
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Αφού ζητάμε λόγο τη τιμή του δεν επηρεάζει και άρα υποθέτω .
Αν το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο θα είναι .
Αν δε η τομή των είναι το σημείο , θέτω .
Μα τότε τα τρίγωνα είναι όμοια αφού έχουν την κοινή και
. Από την ομοιότητα αυτή έχω :
Επίσης . Άρα το είναι το περίκεντρο του
Θέτω ακόμα : .
Έχω τώρα και άρα :
Από την άλλη μεριά και τη ομοιότητα των τριγώνων έχω :
Τέλος από το Θ. διχοτόμων .
Έτσι έχω:
Παρατήρησ: Αν φέρουμε το ύψος του τριγώνου έχουμε μια ακόμη καλή λύση υπολογίζοντας τα εμβαδά με τον κλασσικό τύπο.
Αν το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο θα είναι .
Αν δε η τομή των είναι το σημείο , θέτω .
Μα τότε τα τρίγωνα είναι όμοια αφού έχουν την κοινή και
. Από την ομοιότητα αυτή έχω :
Επίσης . Άρα το είναι το περίκεντρο του
Θέτω ακόμα : .
Έχω τώρα και άρα :
Από την άλλη μεριά και τη ομοιότητα των τριγώνων έχω :
Τέλος από το Θ. διχοτόμων .
Έτσι έχω:
Παρατήρησ: Αν φέρουμε το ύψος του τριγώνου έχουμε μια ακόμη καλή λύση υπολογίζοντας τα εμβαδά με τον κλασσικό τύπο.
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Ακόμα Θ. διχοτόμων και .
Αν το έγκεντρο και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις
Πλευρές θα είναι
,
Τα υπόλοιπα απλά
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Για λίγο πιο «ανθρώπινα» νούμερα… Για ο Stewart δίνει , οπότε καιΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 11:22 pmΚαλό βράδυ σε όλους.
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Από Π.Θ. στο και μετά υπολογίζουμε το , άρα και το εμβαδόν του όμοιού του
Γνωρίζοντας το βρίσκουμε το , οπότε υπολογίζουμε και το ζητούμενο λόγο…
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 11:22 pmΚαλό βράδυ σε όλους.
15-1-18 Πέντε παρά κάτι.PNG
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
Ας είναι κ=1 Από θ.διχοτόμου έχουμε και
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τη διχοτόμο στο και την στο
Είναι και
άρα
Από Ήρωνα είναι κι από Π.Θ στο
και
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Μια "γιαπωνέζικη" λύση...Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 11:22 pmΚαλό βράδυ σε όλους.
Το τρίγωνο έχει και (ας πούμε .. ) .
Η κάθετη προς την στο τέμνει την διχοτόμο στο .
Να υπολογιστεί ο λόγος . Ευχαριστώ, Γιώργος
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Καλημέρα σε όλους ! Ευχαριστώ θερμά τους Νίκο, Μιχάλη και Μιχάλη για την ..άκρα περιποίηση του θέματος με τις υπέροχες λύσεις τους !
Θαυμάσια για την κομψότητά της και η τελευταία - με Ιαπωνική τεχνολογία αιχμής- λύση του Μιχάλη !
Πριν αναρτήσω βοηθητική πρόταση που ήταν η αιτία-αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος θα πρότεινα να ..τακτοποιήσουμε
και το νέο θέμα ΑΥΤΟ που βασίζεται στην ίδια πρόταση.
Η πρόταση αυτή που θα ακολουθήσει , αφορά ισοδυναμία σχέσης των πλευρών τριγώνου αφενός με σχέση των μέτρων των γωνιών του , αφετέρου.
Φιλικά , Γιώργος
Θαυμάσια για την κομψότητά της και η τελευταία - με Ιαπωνική τεχνολογία αιχμής- λύση του Μιχάλη !
Πριν αναρτήσω βοηθητική πρόταση που ήταν η αιτία-αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος θα πρότεινα να ..τακτοποιήσουμε
και το νέο θέμα ΑΥΤΟ που βασίζεται στην ίδια πρόταση.
Η πρόταση αυτή που θα ακολουθήσει , αφορά ισοδυναμία σχέσης των πλευρών τριγώνου αφενός με σχέση των μέτρων των γωνιών του , αφετέρου.
Φιλικά , Γιώργος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Χαιρετώ. Ας υποβάλω και προσωπική λύση :
Τότε άρα και .
Έχουμε άρα ενώ από το Θ.διχοτόμου παίρνουμε .
Συνεπώς
(*) Βοηθητική πρόταση Σε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία :
Πρέπει να πω ότι η σχέση μου προέκυψε στην τριάδα
και σκέφτηκα να τη γενικεύσω , να εξετάσω το αντίστροφο και στην συνέχεια να μοιραστώ την πρόταση αυτή μαζί σας !
Θεωρώ πολύ πιθανόν -εφόσον είναι αληθής- να κυκλοφορεί ήδη.. Προτίθεμαι βεβαίως να γράψω την προσωπική απόδειξη αυτής
αν στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα δεν έχει καλυφθεί... Φιλικά Γιώργος.
Για τις πλευρές του τριγώνου ισχύει . Σύμφωνα με τη βοηθητική πρόταση(*) είναι .Τότε άρα και .
Έχουμε άρα ενώ από το Θ.διχοτόμου παίρνουμε .
Συνεπώς
(*) Βοηθητική πρόταση Σε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία :
Πρέπει να πω ότι η σχέση μου προέκυψε στην τριάδα
και σκέφτηκα να τη γενικεύσω , να εξετάσω το αντίστροφο και στην συνέχεια να μοιραστώ την πρόταση αυτή μαζί σας !
Θεωρώ πολύ πιθανόν -εφόσον είναι αληθής- να κυκλοφορεί ήδη.. Προτίθεμαι βεβαίως να γράψω την προσωπική απόδειξη αυτής
αν στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα δεν έχει καλυφθεί... Φιλικά Γιώργος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Καλημέρα σε όλους!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2018 3:13 am
(*) Βοηθητική πρόταση Σε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία :
Πρέπει να πω ότι η σχέση μου προέκυψε στην τριάδα
και σκέφτηκα να τη γενικεύσω , να εξετάσω το αντίστροφο και στην συνέχεια να μοιραστώ την πρόταση αυτή μαζί σας !
Θεωρώ πολύ πιθανόν -εφόσον είναι αληθής- να κυκλοφορεί ήδη.. Προτίθεμαι βεβαίως να γράψω την προσωπική απόδειξη αυτής
αν στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα δεν έχει καλυφθεί... Φιλικά Γιώργος.
Ενδιαφέρουσα πρόταση! Έστω το έγκεντρο του τριγώνου. που σημαίνει ότι
η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου Άρα:
Αλλά,
Το αντίστροφο προκύπτει ακολουθώντας αντίστροφη πορεία.
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2018 3:13 am
(*) Βοηθητική πρόταση Σε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία :
Πρέπει να πω ότι η σχέση μου προέκυψε στην τριάδα
και σκέφτηκα να τη γενικεύσω , να εξετάσω το αντίστροφο και στην συνέχεια να μοιραστώ την πρόταση αυτή μαζί σας !
Θεωρώ πολύ πιθανόν -εφόσον είναι αληθής- να κυκλοφορεί ήδη.. Προτίθεμαι βεβαίως να γράψω την προσωπική απόδειξη αυτής
αν στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα δεν έχει καλυφθεί... Φιλικά Γιώργος.
Έστω και τα σημεία εσωτερικά και εξωτερικά του για τα οποία :
. Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου που θα περνά από το και έστω το άλλο σημείο τομής του με την ευθεία .
Θα έχουμε ταυτόχρονα:
.
Τώρα τα ισοσκελή τρίγωνα είναι ισογώνια αφού έχουν κοινή τη
γωνία και μάλιστα Η γωνία ως εξωτερική στο τρίγωνο θα είναι και λόγω της :
.
Το αντίστροφο τώρα απλό.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Πέντε παρά .. κάτι
Xαιρετώ ! Γιώργο και Νίκο σας ευχαριστώ για τις αποδείξεις της πρότασης αυτής !
Υποβάλλω και την δική μου (παρόμοια με του Νίκου) προσέγγιση: Έστω .Τότε παίρνουμε και η αρχική γίνεται
ή άρα η εφάπτεται στον κύκλο των
οπότε ενώ και επομένως .
Ας είναι τώρα .Ομοίως παίρνουμε .
Έπεται .Τότε δηλ η εφάπτεται στον κύκλο των
οπότε ή .
Aς δούμε μια εφαρμογή της πρότασης με (το γνωστό) ..χρυσό αποτέλεσμα :
Αν σε τρίγωνο είναι τότε
Πράγματι έχουμε και οπότε, σύμφωνα με την πρόταση
ισχύει . Διαιρούμε με
και παίρνουμε συνεπώς ... ιλικά Γιώργος.
Υποβάλλω και την δική μου (παρόμοια με του Νίκου) προσέγγιση: Έστω .Τότε παίρνουμε και η αρχική γίνεται
ή άρα η εφάπτεται στον κύκλο των
οπότε ενώ και επομένως .
Ας είναι τώρα .Ομοίως παίρνουμε .
Έπεται .Τότε δηλ η εφάπτεται στον κύκλο των
οπότε ή .
Aς δούμε μια εφαρμογή της πρότασης με (το γνωστό) ..χρυσό αποτέλεσμα :
Αν σε τρίγωνο είναι τότε
Πράγματι έχουμε και οπότε, σύμφωνα με την πρόταση
ισχύει . Διαιρούμε με
και παίρνουμε συνεπώς ... ιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες