Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Καλημέρα και Χρόνια Πολλά!
Ας αποδείξουμε την τελευταία ισότητα (που αποδίδεται στον Hermite):
Αν , τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω, λοιπόν, ότι , οπότε Τότε, υπάρχει τέτοιο, ώστε
και
δηλαδή
Τότε, είναι:
και
οπότε
Εξάλλου, είναι
οπότε
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Ας αποδείξουμε την τελευταία ισότητα (που αποδίδεται στον Hermite):
Αν , τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω, λοιπόν, ότι , οπότε Τότε, υπάρχει τέτοιο, ώστε
και
δηλαδή
Τότε, είναι:
και
οπότε
Εξάλλου, είναι
οπότε
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Η λύση που κυκλοφορεί για την τελευταία είναιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 07, 2018 1:07 pmΟι παρακάτω έχουν ξαναεμφανιστεί στο φορουμ αλλά τις αναρτώ χάριν πληρότητας.
Άσκηση 7. Δείξτε τις ταυτότητες
και γενικότερα
,
Αν
τότε εύκολα βλέπουμε ότι
οπότε αρκεί να περιοριστούμε στην περίπτωση που .
Τότε εύκολα βλέπουμε ότι για είναι
και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Ας προσθέσω ότι η ταυτότητα στην Άσκηση ονομάζεται ταυτότητα Hermite.
Δεν ξέρω την αρχική απόδειξη αλλά η
Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις.
Δεν ξέρω την αρχική απόδειξη αλλά η
οφείλεται στον Matsuoka, "On a Proof of Hermite's Identity", The American Mathematical Monthly, τόμος , έτος , σελίς .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 07, 2018 7:24 pm
Η λύση που κυκλοφορεί για την τελευταία είναι ...
Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Άσκηση 8. Να αποδειχθεί η ταυτότητα , για
Άσκηση 9. Να αποδειχθεί η ταυτότητα
Άσκηση 9. Να αποδειχθεί η ταυτότητα
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Θέτουμε
και γίνεται
Θα δείξουμε την τελευταία που είναι γενικότερη και ισχύει για
Από την τελευταία της άσκησης 7 έχουμε
Αρα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Θα αποδείξουμε αρχικά πως .
Έστω ακέραιος με . Έχουμε:
Θέλουμε να αποδείξουμε τώρα πως:
.
Θέτουμε και αρκεί να αποδείξουμε πως:
.
Αν , τότε θα είναι .
Έστω .
Θέτουμε , όπου .
Αρκεί να αποδείξουμε πως:
Όμως και .
Άρα και .
Συνεπώς και το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Ιαν 13, 2018 8:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Πρόβλημα 10Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια:
a) Η είναι γνησίως αύξουσα.
b)
c) .
Με συμβολίζουμε τους θετικούς ακεραίους.
Η άσκηση είναι γνωστή. Όποιος γνωρίζει την πηγή της ας αποφύγει για την ώρα να τη δώσει, ώστε να την προσπαθήσουν ανεπηρέαστα τα μέλη του mathematica.
a) Η είναι γνησίως αύξουσα.
b)
c) .
Με συμβολίζουμε τους θετικούς ακεραίους.
Η άσκηση είναι γνωστή. Όποιος γνωρίζει την πηγή της ας αποφύγει για την ώρα να τη δώσει, ώστε να την προσπαθήσουν ανεπηρέαστα τα μέλη του mathematica.
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
.nickthegreek έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 4:33 pmΠρόβλημα 10Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια:
a) Η είναι γνησίως αύξουσα.
b)
c) .
Με συμβολίζουμε τους θετικούς ακεραίους.
Για να κλείνει, δίνω λύση αλλά δεν χρησιμοποιώ ακέραιο μέρος.
Nίκο, έχεις λύση με ακέραιο μέρος;
Εξετάζοντας τις πρώτες μικρές τιμές θα διαπιστώσουμε ότι και λοιπά. Μυριζόμαστε Fibonacci
όπου .
Πραγματικά μας οδηγεί σε λύση χρησιμοποιώντας την ιδιότητα "κάθε φυσικός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα μη διαδοχικών αριθμών Fibonacci" (πρόκειται για το θεώρημα Zeckendorf, που η απόδειξή του είναι απλή, με επαγωγή. Βλέπε για ιδιότητες και αποδείξεις εδώ). Θα χρησιμοποιήσω ακόμα ότι αν τέτοια γραφή με τότε (απλό με επαγωγή)
Πίσω στην άσκηση.
Αν μία τέτοια παράσταση του , θέτουμε και απλά ελέγχουμε τις δοθείσες συνθήκες.
α) Έστω με παραστάσεις και . Θέλουμε να δείξουμε ότι . Έστω ότι ίσχυε η ανάποδη ανισότητα. Χωρίς βλάβη γιατί αλλιώς σβήνουμε τα ίσα από τα δύο μέλη και συνεχίζουμε όπως παρακάτω. Θα είχαμε τότε
οπότε , άρα και άρα αφού είναι άνισα. Τότε όμως
, άτοπο. Αυτό δείχνει ότι η είναι γνήσια αύξουσα.
β) Ισχύει εξ ορισμού.
γ)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Το πρώτο μέρος της παρακάτω είναι ειδική περίπτωση της Άσκησης 8. Το θέτω για λόγους πληρότητας
και επειδή συνοδεύεται από τα υπόλοιπα.
Άσκηση 11. α) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , όπου δοθείς.
β) Αν τέτοιο ώστε για κάθε , τότε το είναι ίσο με το αντίστροφο κάποιου φυσικού.
γ) Αν τέτοιο ώστε για κάθε , τότε .
δ) Αν τέτοια ώστε για κάθε , τότε τα και είναι φυσικοί αριθμοί.
και επειδή συνοδεύεται από τα υπόλοιπα.
Άσκηση 11. α) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , όπου δοθείς.
β) Αν τέτοιο ώστε για κάθε , τότε το είναι ίσο με το αντίστροφο κάποιου φυσικού.
γ) Αν τέτοιο ώστε για κάθε , τότε .
δ) Αν τέτοια ώστε για κάθε , τότε τα και είναι φυσικοί αριθμοί.
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Εμπνευσμένη λύση. Την ίδια ιδέα μου είχε αναφέρει σε σχετική συζητήση ο Ραφαήλ Τσιάμης πριν καιρό. Η λύση που έχω εγώ είναι η εξής:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 18, 2018 11:32 pm.nickthegreek έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 4:33 pmΠρόβλημα 10Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια:
a) Η είναι γνησίως αύξουσα.
b)
c) .
Με συμβολίζουμε τους θετικούς ακεραίους.
Για να κλείνει, δίνω λύση αλλά δεν χρησιμοποιώ ακέραιο μέρος.
Nίκο, έχεις λύση με ακέραιο μέρος;
Εξετάζοντας τις πρώτες μικρές τιμές θα διαπιστώσουμε ότι και λοιπά. Μυριζόμαστε Fibonacci
όπου .
Πραγματικά μας οδηγεί σε λύση χρησιμοποιώντας την ιδιότητα "κάθε φυσικός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα μη διαδοχικών αριθμών Fibonacci" (πρόκειται για το θεώρημα Zeckendorf, που η απόδειξή του είναι απλή, με επαγωγή. Βλέπε για ιδιότητες και αποδείξεις εδώ). Θα χρησιμοποιήσω ακόμα ότι αν τέτοια γραφή με τότε (απλό με επαγωγή)
Πίσω στην άσκηση.
Αν μία τέτοια παράσταση του , θέτουμε και απλά ελέγχουμε τις δοθείσες συνθήκες.
α) Έστω με παραστάσεις και . Θέλουμε να δείξουμε ότι . Έστω ότι ίσχυε η ανάποδη ανισότητα. Χωρίς βλάβη γιατί αλλιώς σβήνουμε τα ίσα από τα δύο μέλη και συνεχίζουμε όπως παρακάτω. Θα είχαμε τότε
οπότε , άρα και άρα αφού είναι άνισα. Τότε όμως
, άτοπο. Αυτό δείχνει ότι η είναι γνήσια αύξουσα.
β) Ισχύει εξ ορισμού.
γ)
H ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Με εννοώ τον χρυσό αριθμό. Η απόδειξη του ισχυρισμού αυτού δεν παρουσιάζει μεγάλες δυσκολίες αλλά είναι σχετικά επίπονη στο γράψιμο και την παραλείπω. Πιο δύσκολο είναι να βρεθει εξαρχής η εν λόγω συνάρτηση.
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
.nickthegreek έγραψε: ↑Τρί Ιαν 23, 2018 2:27 amH ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Με εννοώ τον χρυσό αριθμό. Η απόδειξη του ισχυρισμού αυτού δεν παρουσιάζει μεγάλες δυσκολίες αλλά είναι σχετικά επίπονη στο γράψιμο και την παραλείπω. Πιο δύσκολο είναι να βρεθει εξαρχής η εν λόγω συνάρτηση.
Καταπληκτική ιδέα.
Από το γεγονός ότι και το , έχουμε . Με άλλα λόγια .
Μέχρι εδώ όλα καλά. Αλλά το "μικρό βηματάκι" από εκεί μέχρι το είναι όλα τα λεφτά. Καταπληκτικό. Δεν θα το σκεφτόμουνα ποτέ! Ενθουσιάστηκα που το είδα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες