Ευρεσιγωνία

KARKAR · #1

: Ευρεσιγωνία.png (12.37 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Στο τετράπλευρο ABCD

του σχήματος , η διαγώνιος

χωρίζει τη γωνία

$\hat{A}$ σε 40^0

και

, ενώ η

διχοτομεί την $\hat{B}$ . Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 12, 2018 2:39 pm
Ευρεσιγωνία.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , η διαγώνιος χωρίζει τη γωνία

$\hat{A}$ σε και , ενώ η διχοτομεί την $\hat{B}$ . Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Με $\displaystyle AI \bot AD \Rightarrow \angle BAI = \angle CAI = {20^0}$ .

Άρα $\displaystyle I$ έκκεντρο του $\displaystyle \vartriangle ABC \Rightarrow \angle BIC = {90^0} + \angle \frac{{BAC}}{2} = {110^0}$

Έτσι , $\displaystyle \vartriangle BIC \simeq \vartriangle ABD \Rightarrow \angle ADB = \angle BCI = \angle ICA \Rightarrow AICD$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow \boxed{\theta = {{20}^0}}$

: ευρεσιγωνία.png (24.78 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

#3

Γράφω τον κύκλο που περνά από τα σημεία A,B,C

και τέμνει ακόμα την

στο σημείο

.

Είναι $\widehat {BAC} = \widehat {BEC} = 40^\circ$ και $\widehat {CBE} = \widehat {CAE} = \widehat z$ , Επίσης $\widehat {AEB} = \widehat \omega$ .

Ισχύει από υπόθεση ότι $\boxed{\widehat x + \widehat z = 70^\circ \,\,(1)}$ . Επειδή EA = EC

από το $\vartriangle EAC$ έχω:

: Ευρεσιγωνία_1.png (34.94 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

$2\widehat z + 40^\circ + \widehat \omega = 180^\circ \Rightarrow \widehat z + \dfrac{1}{2}\widehat \omega = 70^\circ$ οπότε λόγω της $(1)\,$ έχω : $\widehat \omega = 2\widehat x\,\,(2)$ .

Αλλά από το $\vartriangle AED$ με $\widehat \omega = \widehat {AEB}$ εξωτερική θα είναι $\widehat \omega = \widehat x + \widehat y$ και λόγω της (2)

είναι $\widehat x = \widehat y \Leftrightarrow \boxed{EA = ED = EC}\,\,\,(3)$

Προφανές ότι ο κύκλος (E,EA)

διέρχεται από τα D,C

άρα : $\displaystyle \boxed{\widehat \theta = \frac{1}{2}\widehat {BEC} = 20^\circ }$

Ευρεσιγωνία

Ευρεσιγωνία

Re: Ευρεσιγωνία

Re: Ευρεσιγωνία

Μέλη σε σύνδεση