Ύπαρξη συνεχούς

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $g:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής για την οποία ισχύει

$f(x)=g(x)+x^{2}f(x^{3}),x\in (-1,1)$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 10:30 pm
Εστω $g:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής για την οποία ισχύει

$f(x)=g(x)+x^{2}f(x^{3}),x\in (-1,1)$

.
Καλό.

Έστω $0\le a <1$ . Επειδή στο $[-a, \, a]$ η

είναι φραγμένη, έστω από το

, έπεται για

στο διάστημα αυτό η σειρά

$f(x) = \sum _0^{\infty} x^{3^n-1}g( x^{3^n})$ συγκλίνει ομοιόμορφα: Έπεται από το

-test του Weierstrass αφού $\displaystyle{ \left |x^{3^n-1}g( x^{3^n})\right | \le Ma^{3^n-1}}$ . Ειδικά, η

είναι συνεχής.

Παρατηρούμε ότι ισχύει

$\displaystyle{ g(x)+x^{2}f(x^{3}) = g(x) + x^2\left ( \sum _0^{\infty} (x^3)^{3^n-1}g(( x^3)^{3^n})\right )= g(x) + x^2\left ( \sum _0^{\infty} x^{3^{n+1}-3}g( x^{3^{n+1}})\right )= }$

$\displaystyle{ = g(x) + \sum _1^{\infty} x^{3^{n}-1}g( x^{3^{n}})= f(x) }$ .

Αυτό δείχνει την ύπαρξη.

Για την μοναδιότητα, δύο συνεχείς (και άρα φραγμένες) f, h

που ικανοποιούν την αρχική θα ικανοποιούν (πάντα στο -[a,a]

) , και την (αφαιρούμε) $\displaystyle{f(x)-h(x)=x^2(f(x^3)-h(x^3)}$ . Αναδρομικά,

$\displaystyle{f(x)-h(x)=x^{3^n-1}(f(x^{3^n})-h(x^{3^n})\to 0}$ . Και λοιπά.

Επειδή το

ως άνω είναι τυχαίο, τα προηγούμενα ισχύουν στο (-1,1)

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 11:26 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2018 10:30 pm
Εστω $g:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής για την οποία ισχύει

$f(x)=g(x)+x^{2}f(x^{3}),x\in (-1,1)$
.
Καλό.

Έστω $0\le a <1$ . Επειδή στο $[-a, \, a]$ η είναι φραγμένη, έστω από το , έπεται για στο διάστημα αυτό η σειρά

$f(x) = \sum _0^{\infty} x^{3^n-1}g( x^{3^n})$ συγκλίνει ομοιόμορφα: Έπεται από το -test του Weierstrass αφού $\displaystyle{ \left |x^{3^n-1}g( x^{3^n})\right | \le Ma^{3^n-1}}$ . Ειδικά, η είναι συνεχής.

Παρατηρούμε ότι ισχύει

$\displaystyle{ g(x)+x^{2}f(x^{3}) = g(x) + x^2\left ( \sum _0^{\infty} (x^3)^{3^n-1}g(( x^3)^{3^n})\right )= g(x) + x^2\left ( \sum _0^{\infty} x^{3^{n+1}-3}g( x^{3^{n+1}})\right )= }$

$\displaystyle{ = g(x) + \sum _1^{\infty} x^{3^{n}-1}g( x^{3^{n}})= f(x) }$ .

Αυτό δείχνει την ύπαρξη.

Για την μοναδιότητα, δύο συνεχείς (και άρα φραγμένες) που ικανοποιούν την αρχική θα ικανοποιούν (πάντα στο ) , και την (αφαιρούμε) $\displaystyle{f(x)-h(x)=x^2(f(x^3)-h(x^3)}$ . Αναδρομικά,

$\displaystyle{f(x)-h(x)=x^{3^n-1}(f(x^{3^n})-h(x^{3^n})\to 0}$ . Και λοιπά.

Επειδή το ως άνω είναι τυχαίο, τα προηγούμενα ισχύουν στο .

Πολύ ωραία.
Η απόδειξη που είχα κατά νου ήταν με το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach.
Ο Μιχάλης δεν το χρησιμοποίησε για τον απλούστατο λόγο ότι έκανε την απόδειξη του θεωρήματος
σε αυτή την ειδική περίπτωση.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 12, 2018 10:22 am
Η απόδειξη που είχα κατά νου ήταν με το θεώρημα σταθερού σημείου του Banach.

Καταπληκτικό. Ούτε που μου πήγε εκεί το μυαλό, που θα έπρεπε γιατί η απόδειξη
που κάνω είναι στα ίδια βήματα με την γενική περίπτωση (με αναδρομή, iteration).
Έτσι, θα έπρεπε να αντιληφθώ ότι κάνω "γενικά βήματα", και τίποτα ιδιαίτερα ειδικό
για την παραπάνω σχέση.

Να 'σαι καλά Σταύρο.

Ύπαρξη συνεχούς

Ύπαρξη συνεχούς

Re: Ύπαρξη συνεχούς

Re: Ύπαρξη συνεχούς

Re: Ύπαρξη συνεχούς

Μέλη σε σύνδεση