Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Θα τοποθετήσω εδώ μερικές ασκήσεις με ακέραιο μέρος.
Άσκηση 1. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Άσκηση 1. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι , δηλαδή ή .
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός
είναι ακέραιος (αν αναπτύξουμε τις δυνάμεις οι όροι που περιέχουν τις ρίζες αν είναι ανά δύο αντίθετοι)
άρα ο ξεπερνάει τον ακέραιο αυτόν κατά , δηλαδή κατά λιγότερο από οπότε προκύπτει η ζητούμενη.
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός
είναι ακέραιος (αν αναπτύξουμε τις δυνάμεις οι όροι που περιέχουν τις ρίζες αν είναι ανά δύο αντίθετοι)
άρα ο ξεπερνάει τον ακέραιο αυτόν κατά , δηλαδή κατά λιγότερο από οπότε προκύπτει η ζητούμενη.
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Παρόμοια αλλά με κάποια μικροδιαφορά:
Άσκηση 2. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα
Ας την αφήσουμε 24 στους μαθητές μια και έχουν μπούσουλα την λύση του Θάνου.
Edit. Διόρθωσα ένα πρόσημο που είχα γράψει λάθος. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Άσκηση 2. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα
Ας την αφήσουμε 24 στους μαθητές μια και έχουν μπούσουλα την λύση του Θάνου.
Edit. Διόρθωσα ένα πρόσημο που είχα γράψει λάθος. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Θέλουμε να δείξουμε πως:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Δεκ 26, 2017 3:13 pmΠαρόμοια αλλά με κάποια μικροδιαφορά:
Άσκηση 2. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα
.
Παρατηρούμε πως (1)
Θα αποδείξουμε πως ο αριθμός είναι ακέραιος:
Ορίζουμε την αναδρομική ακολουθία με και . Προφανώς κάθε είναι ακέραιος.
Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση την , η οποία έχει χαρακτηριστικές ρίζες τις και . Προκύπτει λοιπόν πως:
, άρα πράγματι ο αριθμός είναι ακέραιος, δηλαδή ο είναι ακέραιος (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι , πράγμα που επαληθεύει την ταυτότητα.
Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Πολύ ωραίος ο συλλογισμός. Άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσεις ότι στο διωνυμικό ανάπτυγμα του οι μεν άρτιες δυνάμεις του δίνουν ακέραιο ενώ οι περιττές απλοποιούνται. Μένει ακέραιος.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Τρί Δεκ 26, 2017 10:37 pmΘα αποδείξουμε πως ο αριθμός είναι ακέραιος:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Πάλι στο ίδιο μήκος κύματος αλλά με μικροδιαφορές.
Άσκηση 3. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε ότι το ακέραιο μέρος είναι περιττός αριθμός και ότι ισχύει η ισότητα
Άσκηση 3. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε ότι το ακέραιο μέρος είναι περιττός αριθμός και ότι ισχύει η ισότητα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Για να μην μείνει:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Δεκ 27, 2017 11:01 amΠάλι στο ίδιο μήκος κύματος αλλά με μικροδιαφορές.
Άσκηση 3. Για φυσικό γράφουμε . Δείξτε ότι το ακέραιο μέρος είναι περιττός αριθμός και ότι ισχύει η ισότητα
Θέλουμε να αποδείξουμε πως
Ισχύει αρχικά ότι , άρα .
Παρατηρούμε ακόμη ότι πρέπει να είναι ακέραιος και μάλιστα πρέπει να αποδείξουμε πως είναι περιττός.
Αρκεί να αποδείξουμε πως ο είναι άρτιος (1).
Έχουμε:
Όμως παρατηρούμε (με τρόπο παρόμοιο με την προηγούμενη άσκηση) πως ο αριθμός ορίζεται αναδρομικά ως , όπου και .
Άρα πράγματι ο αριθμός a_m=[a] είναι ακέραιος και μάλιστα άρτιος.
Εναλλακτικά για την (1) μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο που είχε αναφέρει ο κύριος Λάμπρου στην προηγούμενη άσκηση, δηλαδή να παρατηρήσουμε πως στο διωνυμικό ανάπτυγμα οι περιττές δυνάμεις των δυο όρων απλοποιούνται και μένουν οι άρτιες δυνάμεις του διπλές φορές, άρα ο αριθμός μας είναι ακέραιος και μάλιστα άρτιος.
Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Δύο απλές:
Άσκηση 4. Δείξτε ότι
Άσκηση 5. Δείξτε ότι για
Edit: Διόρθωσα τυπογραφική αβλεψία στην .
Άσκηση 4. Δείξτε ότι
Άσκηση 5. Δείξτε ότι για
Edit: Διόρθωσα τυπογραφική αβλεψία στην .
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Ιαν 04, 2018 9:08 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους!
Γενικά ισχύει:
Αρκεί: ή
ή
που με ύψωση στο τετράγωνο η αριστερή γίνεται και η δεξιά που προφανώς ισχύουν.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Πέμ Ιαν 04, 2018 7:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Δεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για προκύπτει .
Houston, we have a problem!
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο είναι περιττός μεγαλύτερος του .Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 04, 2018 7:38 pmΔεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για προκύπτει .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Έχετε δίκιο. Το λάθος δικό μου. Η σωστή εκφώνηση έχει ένα ακόμη που παρέλειψα. Το σωστό είναιΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 04, 2018 7:44 pmΣυνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο είναι περιττός μεγαλύτερος του .
για
Η απόδειξη παραπάνω εύκολα διαμορφώνεται να περιλάβει την σωστή διατύπωση. Η δική μου απόδειξη έχει μικρή παραλλαγή:
Έχουμε και ισχύει για . Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Μία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"
Άσκηση 6. Πόσο κάνει ;
Άσκηση 6. Πόσο κάνει ;
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Έστω .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 9:39 pmΜία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"
Άσκηση 6. Πόσο κάνει ;
Είναι , επομένως (1).
Επίσης, (2).
Από (1), (2) , και επομένως
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Έχουμε:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 9:39 pmΜία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"
Άσκηση 6. Πόσο κάνει ;
... και το ίδιο το συνεχίζουμε όσες φορές θέλουμε! Και το ζητούμενο αποτέλεσμα θα είναι πάντα .
Υ.Γ. μοιάζει από ό,τι βλέπω με του Ορέστη!
Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Ακριβώς. Και στις δύο λύσεις παραπάνω έχουμε την εξής διαδικασία για τοΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 10:05 pm... και το ίδιο το συνεχίζουμε όσες φορές θέλουμε! Και το ζητούμενο αποτέλεσμα θα είναι πάντα .
Αντιγράφω:
Μεγαλώνουμε το τελευταίο ριζικό σε το οποίο δίνει για το αμέσως προηγούμενο ριζικό την
ανισότητα . Δηλαδή "ξεδιπλώνουμε" σιγά σιγά τα ριζικά με παναμοιότυπο τρόπο μέχρι να
φύγουν όλα, όπως κάνατε.
Ας σημειώσω ότι η αντίστοιχη παράσταση με "άπειρα φωλιασμένα ριζικά" έχει τιμή καθώς ικανοποιεί την εξίσωση (άμεσο). Π.χ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Οι παρακάτω έχουν ξαναεμφανιστεί στο φορουμ αλλά τις αναρτώ χάριν πληρότητας.
Άσκηση 7. Δείξτε τις ταυτότητες
και γενικότερα
,
Άσκηση 7. Δείξτε τις ταυτότητες
και γενικότερα
,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες