Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#1

Θα τοποθετήσω εδώ μερικές ασκήσεις με ακέραιο μέρος.

Άσκηση 1. Για φυσικό γράφουμε $a=(\sqrt 2+1)^{2m+1}$ . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα

$\displaystyle{[a]= \frac {1}{ \{a\}}- \{a\}}$

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

#2

Ανοικτή σε όλους.

#3

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{[a]+\{a\}=\frac{1}{\{a\}}}$ , δηλαδή $\displaystyle{a=\frac{1}{\{a\}}}$ ή $\displaystyle{\{a\}=(\sqrt{2}-1)^{2m+1}}$ .

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{(\sqrt{2}+1)^{2m+1}-(\sqrt{2}-1)^{2m+1}}$ είναι ακέραιος (αν αναπτύξουμε τις δυνάμεις οι όροι που περιέχουν τις ρίζες αν είναι ανά δύο αντίθετοι)

άρα ο $\displaystyle{(\sqrt{2}+1)^{2m+1}}$ ξεπερνάει τον ακέραιο αυτόν κατά $\displaystyle{(\sqrt{2}-1)^{2m+1}<\left(\frac{1}{2}\right)^{2m+1}\leq \frac{1}{8}}$ , δηλαδή κατά λιγότερο από $\displaystyle{0,125}$ οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

#4

Παρόμοια αλλά με κάποια μικροδιαφορά:

Άσκηση 2. Για φυσικό γράφουμε $a=(5+2\sqrt 6)^{m}$ . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα

$\displaystyle{[a]= \frac {1}{ 1-\{a\}}- \{a\}}$

Ας την αφήσουμε 24 στους μαθητές μια και έχουν μπούσουλα την λύση του Θάνου.
Edit. Διόρθωσα ένα πρόσημο που είχα γράψει λάθος. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 3:13 pm
Παρόμοια αλλά με κάποια μικροδιαφορά:

Άσκηση 2. Για φυσικό γράφουμε $a=(5+2\sqrt 6)^{m}$ . Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του την ταυτότητα

$\displaystyle{[a]= \frac {1}{ 1-\{a\}}- \{a\}}$

Θέλουμε να δείξουμε πως:

$[a]+\{a\}=\dfrac{1}{1-\{a\}}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{1-\{a\}}\Leftrightarrow \{a\}=1-\dfrac{1}{a}=1-\dfrac{1}{(5+2\sqrt 6)^m}=1-(5-2\sqrt{6})^m$ .

Παρατηρούμε πως $5-2\sqrt{6}<1\Leftrightarrow (5-2\sqrt{6})^m<1\Leftrightarrow 0<1-(5-2\sqrt{6})^m<1$ (1)

Θα αποδείξουμε πως ο αριθμός $(5+2\sqrt 6)^m+(5-2\sqrt{6})^m$ είναι ακέραιος:

Ορίζουμε την αναδρομική ακολουθία $a_n-10a_{n-1}+a_{n-2}$ με a_0=2

και

. Προφανώς κάθε a_n

είναι ακέραιος.

Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση την x^2-10x+1=0

, η οποία έχει χαρακτηριστικές ρίζες τις $5-2\sqrt{6}$ και $5+2\sqrt{6}$ . Προκύπτει λοιπόν πως:

$a_m=(5+2\sqrt{6})^m+(5-2\sqrt{6})^m$ , άρα πράγματι ο αριθμός $(5+2\sqrt 6)^m+(5-2\sqrt{6})^m$ είναι ακέραιος, δηλαδή ο $a-(1-(5-2\sqrt{6})^m)$ είναι ακέραιος (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι $\{a\}=1-(5-2\sqrt{6})^m$ , πράγμα που επαληθεύει την ταυτότητα.

#6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2017 10:37 pm
Θα αποδείξουμε πως ο αριθμός $(5+2\sqrt 6)^m+(5-2\sqrt{6})^m$ είναι ακέραιος:

Πολύ ωραίος ο συλλογισμός. Άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσεις ότι στο διωνυμικό ανάπτυγμα του $\displaystyle{ (5+2\sqrt 6)^m+(5-2\sqrt{6})^m }$ οι μεν άρτιες δυνάμεις του $\sqrt 6$ δίνουν ακέραιο ενώ οι περιττές απλοποιούνται. Μένει ακέραιος.

#7

Πάλι στο ίδιο μήκος κύματος αλλά με μικροδιαφορές.

Άσκηση 3. Για φυσικό γράφουμε $a=(3+\sqrt 7)^{m}$ . Δείξτε ότι το ακέραιο μέρος είναι περιττός αριθμός και ότι ισχύει η ισότητα $\displaystyle{a = \frac {2^m}{1-\{a\}}}$

#8

Επαναφορά

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 11:01 am
Πάλι στο ίδιο μήκος κύματος αλλά με μικροδιαφορές.

Άσκηση 3. Για φυσικό γράφουμε $a=(3+\sqrt 7)^{m}$ . Δείξτε ότι το ακέραιο μέρος είναι περιττός αριθμός και ότι ισχύει η ισότητα $\displaystyle{a = \frac {2^m}{1-\{a\}}}$

Για να μην μείνει:

Θέλουμε να αποδείξουμε πως $\{a\}=1-\dfrac{2^m}{a}=1-\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}$

Ισχύει αρχικά ότι $1>\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}>0$ , άρα $1>1-\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}>0$ .

Παρατηρούμε ακόμη ότι $[a]=a-\{a\}=(3+\sqrt 7)^{m}+\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}-1$ πρέπει να είναι ακέραιος και μάλιστα πρέπει να αποδείξουμε πως είναι περιττός.

Αρκεί να αποδείξουμε πως ο $(3+\sqrt 7)^{m}+\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}$ είναι άρτιος (1).

Έχουμε:

$(3+\sqrt 7)^{m}+\dfrac{2^m}{(3+\sqrt{7})^m}=(3+\sqrt 7)^{m}+\dfrac{((3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}))^m}{(3+\sqrt{7})^m}=(3+\sqrt 7)^{m}+(3-\sqrt{7})^m$

Όμως παρατηρούμε (με τρόπο παρόμοιο με την προηγούμενη άσκηση) πως ο αριθμός $a_m=(3+\sqrt 7)^{m}+(3-\sqrt{7})^m$ ορίζεται αναδρομικά ως $a_m=6a_{m-1}-2a_{m-2}$ , όπου a_0=2

και

.

Άρα πράγματι ο αριθμός a_m=[a] είναι ακέραιος και μάλιστα άρτιος.

Εναλλακτικά για την (1) μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο που είχε αναφέρει ο κύριος Λάμπρου στην προηγούμενη άσκηση, δηλαδή να παρατηρήσουμε πως στο διωνυμικό ανάπτυγμα οι περιττές δυνάμεις των δυο όρων απλοποιούνται και μένουν οι άρτιες δυνάμεις του $\sqrt{7}$ διπλές φορές, άρα ο αριθμός μας είναι ακέραιος και μάλιστα άρτιος.

#10

Δύο απλές:

Άσκηση 4. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ {\underset{2N}{\sqrt{\underbrace{444...44}}}} \right ]= \underset{N}{\underbrace{666...66}} }$

Άσκηση 5. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]=\left [ \frac {n+1}{2}} \right ]$ για $n\in \mathbb N,\, n >2$

Edit: Διόρθωσα τυπογραφική αβλεψία στην .

harrisp · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 5:20 pm
Δύο απλές:

Άσκηση 4. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ {\underset{2N}{\sqrt{\underbrace{444...44}}}} \right ]= \underset{N}{\underbrace{666...66}} }$

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους!

Γενικά ισχύει: $\underset{N}{\underbrace{aaa...aa}}=\dfrac {a(10^N-1)}{9}$

Αρκεί: $\dfrac {6(10^N-1)}{9}\leq \sqrt {\dfrac {4(10^{2N}-1)}{9}}< \dfrac {6(10^N-1)}{9} +1$ ή
$\dfrac {2(10^N-1)}{3}\leq \dfrac {2}{3} \sqrt {(10^{2N}-1)}}< \dfrac {2(10^N-1)}{3} +1$ ή
${(10^N-1)}\leq \sqrt {(10^{2N}-1)}}<(10^N-1)} +\dfrac {3}{2}$ που με ύψωση στο τετράγωνο η αριστερή γίνεται $10^N\geq 1$ και η δεξιά $10^N+\dfrac {5}{4}>0$ που προφανώς ισχύουν.

harrisp · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 5:20 pm
Άσκηση 5. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}}$ για $n\in \mathbb N$

Νομίζω πρέπει .

Αρκεί $\dfrac {n+1}{2}\leq \dfrac {n(n+1)}{2n-1}<\dfrac {n+3}{2}$ ή

$(n+1)(2n-1)\leq 2n(n+1)<(n+3)(2n-1)$ ή

$-1\leq n< 4n-3$ που ισχύει.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 5:20 pm

Άσκηση 5. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}}$ για $n\in \mathbb N$

Δεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το $\dfrac{n+1}{2}$ είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για n=2

προκύπτει $2=\dfrac{3}{2}$

.

harrisp · #14

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 7:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 5:20 pm

Άσκηση 5. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}}$ για $n\in \mathbb N$
Δεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το $\dfrac{n+1}{2}$ είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για προκύπτει $2=\dfrac{3}{2}$ .

Συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο

είναι περιττός μεγαλύτερος του

.

#15

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 7:44 pm
Συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο είναι περιττός μεγαλύτερος του .

Έχετε δίκιο. Το λάθος δικό μου. Η σωστή εκφώνηση έχει ένα ακόμη [.]

που παρέλειψα. Το σωστό είναι

$\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]=\left [ \frac {n+1}{2}} \right ]$ για $n\in \mathbb N,\, n >2$

Η απόδειξη παραπάνω εύκολα διαμορφώνεται να περιλάβει την σωστή διατύπωση. Η δική μου απόδειξη έχει μικρή παραλλαγή:

Έχουμε $\displaystyle{ \frac {n(n+1)}{2n-1} = \frac {n+1}{2} + \frac {n+1}{4n-2} }$ και ισχύει $\displaystyle{ \frac {n+1}{4n-2} < \frac {1}{2} }$ για $\displaystyle{n>2}$ . Και λοιπά.

#16

Μία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"

Άσκηση 6. Πόσο κάνει $\displaystyle{ \left [ \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right ]}$ ;

Ορέστης Λιγνός · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 9:39 pm
Μία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"

Άσκηση 6. Πόσο κάνει $\displaystyle{ \left [ \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right ]}$ ;

Έστω $A=\displaystyle{ \left \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right }$ .

Είναι 132<12^2=144

, επομένως $A=\displaystyle{ \left \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right }<\sqrt{132+\sqrt{132+\sqrt{132+12}}}}= \ldots = 12 \Rightarrow \boxed{A<12}$ (1).

Επίσης, $A=\displaystyle{ \left \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right }>\sqrt{132}>11 \Rightarrow \boxed{A>11}$ (2).

Από (1), (2) 11<A<12

, και επομένως [A]=11

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #18

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 9:39 pm
Μία απλή αλλά η ιδέα είναι ότι γίνονται δεκτές μόνο λύσεις "της μιας γραμμής"

Άσκηση 6. Πόσο κάνει $\displaystyle{ \left [ \, { \sqrt {132 +\sqrt {132+ \sqrt {132 +\sqrt {132}}} } }\, \right ]}$ ;

Έχουμε:

$11 < \sqrt{132} < 12 \Rightarrow$

$132+11 < 132+ \sqrt{132} < 132+ 12 \Rightarrow$

$121 < 143 < 132+ \sqrt{132} < 144 \Rightarrow$

$121 < 132+ \sqrt{132} < 144 \Rightarrow$

$\sqrt{121} < \sqrt{132+ \sqrt{132}} < \sqrt{144} \Rightarrow$

$11 < \sqrt{132+ \sqrt{132}} < 12$

... και το ίδιο το συνεχίζουμε όσες φορές θέλουμε! Και το ζητούμενο αποτέλεσμα θα είναι πάντα

.

Υ.Γ. μοιάζει από ό,τι βλέπω με του Ορέστη!

#19

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 10:05 pm
... και το ίδιο το συνεχίζουμε όσες φορές θέλουμε! Και το ζητούμενο αποτέλεσμα θα είναι πάντα .

Ακριβώς. Και στις δύο λύσεις παραπάνω έχουμε την εξής διαδικασία για το

$\displaystyle{ \, { \sqrt {a^2-a +\sqrt {a^2-a+ \sqrt {a^2-a +\sqrt {a^2-a}}} } }}$

Αντιγράφω:

Μεγαλώνουμε το τελευταίο ριζικό σε $\sqrt {a^2}$ το οποίο δίνει για το αμέσως προηγούμενο ριζικό την

ανισότητα $< \sqrt {a^2-a +\sqrt {a^2}} = \sqrt {a^2-a +a} = \sqrt {a^2}$ . Δηλαδή "ξεδιπλώνουμε" σιγά σιγά τα ριζικά με παναμοιότυπο τρόπο μέχρι να

φύγουν όλα, όπως κάνατε.

Ας σημειώσω ότι η αντίστοιχη παράσταση με "άπειρα φωλιασμένα ριζικά" έχει τιμή

καθώς ικανοποιεί την εξίσωση $x= \sqrt {a^2-a + x$ (άμεσο). Π.χ.

$\displaystyle{ \, { \sqrt {6 +\sqrt {6+ \sqrt {6 +\sqrt {6...}}} } }=3}$

#20

Οι παρακάτω έχουν ξαναεμφανιστεί στο φορουμ αλλά τις αναρτώ χάριν πληρότητας.

Άσκηση 7. Δείξτε τις ταυτότητες

$\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{2} \right ]= \left [2a \right ]$

$\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{3} \right ]+ \left [a + \frac {2}{3} \right ]= \left [3a \right ]$

και γενικότερα

$\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{m} \right ] +...+ \left [a + \frac {m-1}{m} \right ]= \left [ma \right ]$ , $\, m \in \mathbb N^*$

Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση