Από τοπικά σταθερή σταθερή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ διάστημα.

Θεωρούμε $f:I\rightarrow \mathbb{R}$
με την ιδιότητα

Για $x\in I$ υπάρχει d(x)> 0

ώστε ο περιορισμός της

στο $I\cap (x-d(x),x+d(x))$
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η

είναι σταθερή

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 am
Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ διάστημα.

Θεωρούμε $f:I\rightarrow \mathbb{R}$
με την ιδιότητα

Για $x\in I$ υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο $I\cap (x-d(x),x+d(x))$
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή

Αρκεί να το αποδείξουμε στα κλειστά $[a, b] \subseteq I$ γιατί αν σε δύο $x,y \in I$ η

είχε διαφορετικές τιμές, απλά θα εξετάζαμε ένα $[a, b] \subseteq I$ που τα περιέχει.

Έστω λοιπόν ένα [a, b]

ως άνω. Είναι $\displaystyle{\displaystyle {[a, b] \subseteq \cup _{x\in [a,b]} (x-d(x),x+d(x)) }$ . Απο συμπάγεια η κάλυψη γίνεται από πεπερασμένα από τα εν λόγω ανοικτά διαστήματα, σε καθένα από τα οποία η

είναι σταθερή. Εξετάζοντας τα κοινά σημεία τέτοιων ανοικτών διαστημάτων, εύκολα βλέπουμε ότι η

είχει παντού την ίδια/κοινή σταθερή τιμή.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 am
Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ διάστημα.

Θεωρούμε $f:I\rightarrow \mathbb{R}$
με την ιδιότητα

Για $x\in I$ υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο $I\cap (x-d(x),x+d(x))$
να είναι σταθερή συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή

Έστω

Επιλέγουμε ένα $x_{0}\in (a,b)$ και θέτουμε

$A=\left \{ x\in(a,b)|f(x)=f(x_{0}) \right \}.$

Το

είναι μη κενό αφού $x_{0}\in A$ και άνω-κάτω φραγμένο από τα a,b

αντίστοιχα.

Επομένως υπάρχει το infA

και το

και προφανώς $infA\geq a, supA\leq b.$

Θα δείξουμε ότι infA= a

και

απ'όπου παίρνουμε κατευθείαν το ζητούμενο.

Έστω infA > a

. Επειδή $infA\in (a,b)$ θα υπάρχει d>0

τέτοιο, ώστε στο $(infA-d,infA+d)\bigcap (a,b)$ η

να είναι σταθερή. Επειδή για κάθε

$x\in(infA,infA+d)\bigcap (a,b)$ είναι $f(x)=f(x_{0})$ παίρνουμε επίσης ότι

για κάθε $x\in(infA-d,infA]\bigcap (a,b)$ είναι $f(x)=f(x_{0})$ το οποίο είναι άτοπο αφού έρχεται σε

αντίθεση με το γεγονός ότι το infA

είναι κάτω φράγμα του

Άρα

Όμοια δείχνουμε ότι supA= b

όπως επίσης και τις υπόλοιπες περιπτώσεις για το

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να σημειώσω ότι το γενικό είναι:

Εστω (X,T)

τοπολογικός χώρος που είναι συνεκτικός και

$f:X\rightarrow Y$

με την ιδιότητα

Αν $x\in X$ υπάρχει $U_{x}$ ανοικτό με $x\in U_{x}$

ώστε $f/U_{x}$ να είναι σταθερή

τότε η

είναι σταθερή

Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο $\left \{ x\in X:f(x)=f(x_{0}) \right \}$
όπου $x_{0}\in X$

είναι ανοικτό και κλειστό συγχρόνως και επειδή είναι μη κενό η συνεκτικότητα δίνει ότι

$X=\left \{ x\in X:f(x)=f(x_{0}) \right \}$

#5

Για την αρχική άσκηση μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in I$ με f'(x) = 0

. Άρα η

είναι σταθερή στο

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 01, 2018 4:04 pm
Για την αρχική άσκηση μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in I$ με . Άρα η είναι σταθερή στο .

Πολύ ωραία Δημήτρη.
Είχα την εντύπωση ότι λύνεται με σχολικά μαθηματικά αλλά δεν είχα απόδειξη.
Χάρη σε εσένα έχω.

AlexandrosG · #7

Και εδώ.

Από τοπικά σταθερή σταθερή

Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Μέλη σε σύνδεση