Από τοπικά σταθερή σταθερή
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Από τοπικά σταθερή σταθερή
Εστω διάστημα.
Θεωρούμε
με την ιδιότητα
Για υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο
να είναι σταθερή συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή
Θεωρούμε
με την ιδιότητα
Για υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο
να είναι σταθερή συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Αρκεί να το αποδείξουμε στα κλειστά γιατί αν σε δύο η είχε διαφορετικές τιμές, απλά θα εξετάζαμε ένα που τα περιέχει.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 amΕστω διάστημα.
Θεωρούμε
με την ιδιότητα
Για υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο
να είναι σταθερή συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή
Έστω λοιπόν ένα ως άνω. Είναι . Απο συμπάγεια η κάλυψη γίνεται από πεπερασμένα από τα εν λόγω ανοικτά διαστήματα, σε καθένα από τα οποία η είναι σταθερή. Εξετάζοντας τα κοινά σημεία τέτοιων ανοικτών διαστημάτων, εύκολα βλέπουμε ότι η είχει παντού την ίδια/κοινή σταθερή τιμή.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Έστω Επιλέγουμε ένα και θέτουμεΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 31, 2017 10:46 amΕστω διάστημα.
Θεωρούμε
με την ιδιότητα
Για υπάρχει
ώστε ο περιορισμός της στο
να είναι σταθερή συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι η είναι σταθερή
Το είναι μη κενό αφού και άνω-κάτω φραγμένο από τα αντίστοιχα.
Επομένως υπάρχει το και το και προφανώς
Θα δείξουμε ότι και απ'όπου παίρνουμε κατευθείαν το ζητούμενο.
Έστω . Επειδή θα υπάρχει
τέτοιο, ώστε στο η να είναι σταθερή. Επειδή για κάθε
είναι παίρνουμε επίσης ότι
για κάθε είναι το οποίο είναι άτοπο αφού έρχεται σε
αντίθεση με το γεγονός ότι το είναι κάτω φράγμα του Άρα
Όμοια δείχνουμε ότι όπως επίσης και τις υπόλοιπες περιπτώσεις για το
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Να σημειώσω ότι το γενικό είναι:
Εστω τοπολογικός χώρος που είναι συνεκτικός και
με την ιδιότητα
Αν υπάρχει ανοικτό με
ώστε να είναι σταθερή
τότε η είναι σταθερή
Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο
όπου
είναι ανοικτό και κλειστό συγχρόνως και επειδή είναι μη κενό η συνεκτικότητα δίνει ότι
Εστω τοπολογικός χώρος που είναι συνεκτικός και
με την ιδιότητα
Αν υπάρχει ανοικτό με
ώστε να είναι σταθερή
τότε η είναι σταθερή
Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο
όπου
είναι ανοικτό και κλειστό συγχρόνως και επειδή είναι μη κενό η συνεκτικότητα δίνει ότι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Για την αρχική άσκηση μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε με . Άρα η είναι σταθερή στο .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Πολύ ωραία Δημήτρη.
Είχα την εντύπωση ότι λύνεται με σχολικά μαθηματικά αλλά δεν είχα απόδειξη.
Χάρη σε εσένα έχω.
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης