Putnam 2017/A3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2017/A3
Έστω πραγματικοί αριθμοί , με και διακεκριμένες συνεχείς συναρτήσεις από το στο ώστε
Για θετικό ακέραιο ορίζουμε
Να δειχθεί ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και
Για θετικό ακέραιο ορίζουμε
Να δειχθεί ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Putnam 2017/A3
Θα δώσω μια λύση για την γενικότερη περίπτωση.
Δηλαδή υποθέτουμε ότι οι είναι μετρήσιμες ,παίρνουν τιμές στο ,δεν είναι ίσες σχεδόν παντού και
είναι φραγμένες άνω για να μην μπορούν τα ολοκληρώματα να απειρίζονται.
(εννοείται ότι τα ολοκληρώματα είναι με την έννοια του Lebesgue)
Επίσης όλα τα σύνολα που ορίζονται παρακάτω είναι μετρήσιμα.
Τα σύνολα
έχουν μη μηδενικό μέτρο αφού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες σχεδόν παντού και
(στα ολοκληρώματα παραλείπω τα )
i)Είναι
Αλλά
γιατί στο είναι .
Η απόδειξη του i) ολοκληρώθηκε
ii)Γράφουμε
Είναι
Επειδή το εχει θετικό μέτρο υπάρχει
ώστε το να έχει θετικό μέτρο.
Αλλά
άρα υπάρχει
ώστε το σύνολο
να έχει θετικό μέτρο.
Τελικά είναι
Δεν έβαλα άκρα ολοκλήρωσης γιατί με κάποιες προυποθέσεις ισχύει και για μη κλειστά διαστήματα.
Re: Putnam 2017/A3
Το ίδιο πρόβλημα τέθηκε στην RNMO 2003 με μοναδική διαφορά ότι τα ολοκληρώματα ήταν από 0 έως 1.
Παπαδόπουλος Παναγιώτης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2017/A3
Παναγιώτη, ευχαριστούμε για την πληροφόρηση. Το RNMO τι συμβολίζει; Romanian National Mathematical Olympiad, ή μήπως κάτι άλλο;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Putnam 2017/A3
Αλλιώς: Θεωρούμε την αληθή ανισότητα , με την παρατήρηση ότι σε κάποιο σημείο η ανισότητα πρέπει να είναι γνήσια γιατί οι δεν ταυτίζονται. Πολλαπλασιάζουμε επί και ολοκληρώνουμε. Δίνει
(γνήσια ανισότητα λόγω της παρατήρησης και το γεγονός ότι έχουμε να κάνουμε με συνεχείς συναρτήσεις).
Άρα και επαγωγικά . Ειδικά, , που απαντά στο πρώτο ερώτημα.
Πρόσθεση κατά μέλη των δίνει , που απαντά στο δεύτερο ερώτημα.
Re: Putnam 2017/A3
Κι εγώ έτσι νομίζω αλλά δεν είμαι σίγουρος. Παραθέτω την πηγή μου (Problem 64) https://lupucezar.files.wordpress.com/2 ... tions_.pdf
Παπαδόπουλος Παναγιώτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες