Διαγωνισμός ομορφιάς

KARKAR · #1

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 2017 φορές

Πάνω στη διάμεσο

τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο

,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

#2

(Δεν με ενδιαφέρει η ομορφιά !)

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (36.88 KiB) Προβλήθηκε 2007 φορές

Έστω

το σημείο τομής της

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Η μεσόκάθετος στο

τέμνει στο

την κάθετο επί την

στο σημείο του

.

Ο κύκλος (K,KC)

τέμνει , εν γένει , την

στο

.

Θα επανέλθω μετά από άλλες λύσεις αν έχω κάτι καλύτερο βρει.

#3

Δίχως να θέλω καθόλου να επηρεάσω την αμερόληπτη κρητική επιτροπή:

: 14-12-2017 Γεωμετρία.jpg (36.29 KiB) Προβλήθηκε 2000 φορές

Από τον πανέμορφο Ν Ημιτόνων στα ABΜ, SCM

έχουμε $\displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{c}{{\eta \mu {{\rm M}_1}}}$ και $\displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu {{\rm M}_2}}}$ .

Αφού $\displaystyle \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ$ , είναι $\displaystyle \eta \mu {{\rm M}_1} = \eta \mu {{\rm M}_2}$ οπότε SC = c

.

Με κέντρο

και ακτίνα

κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την

στο εσωτερικό του σημείο

, αφού η γωνία $\displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}}$ είναι οξεία. Το τρίγωνο BKM

είναι ισοσκελές με $\displaystyle \widehat {{{\rm K}_1}} = \widehat {{{\rm M}_1}}$ άρα και $\displaystyle \widehat {{{\rm K}_2}} = \widehat {{{\rm M}_2}}$ , οπότε τα τρίγωνα ABK, SMC

είναι ίσα, άρα AK =MS

.

Οπότε προσδιορίσαμε τη θέση του

.

Ορέστης Λιγνός · #4

: point S.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 1959 φορές

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 11:13 pm
point S.png

Παντού και πάντοτε τα νιάτα είναι ασυναγώνιστα !

#6

: Διαγωνισμός ομορφιάς_new.png (32.19 KiB) Προβλήθηκε 1947 φορές

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει τον κύκλο (A,B,M)

στο

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

ακόμα στο

#7

: Beauty star.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 1886 φορές

KARKAR · #8

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 1876 φορές

Παίρνω :

, τέλος ...

Ολιγόλογη και μυστηριώδης , κερδίζει το στέμμα , το οποίο δεν επιστρέφεται .

Επιτάχυνα κάπως την παρουσίαση της λύσης μου , επειδή ήθελα πολύ

αυτή τη νίκη και στην πίστα άρχιζαν να εμφανίζονται κι άλλες επικίνδυνα

όμορφες ! Δεν νομίζω ότι θα αμφισβητηθεί η απόφαση της κριτικής επιτροπής

Ανδρέας Πούλος · #9

Επιδιώκω το βραβείο απλότητας.
Αν η επιτροπή είναι "κρητική" π.χ. Βαρβεράκης και Παντερής (που είναι και συνονόματοι), τότε το βραβείο το έχω στο τσεπάκι.

Ονομάζω β το μέτρο της γωνίας ABC

.
Αν δοθούν δύο γωνίες με μέτρο φ και β, τότε είναι εύκολη η κατασκευή της γωνίας π-2φ-β, (επίπεδο Α Γυμνασίου).
Άρα, κατασκευάζω γωνία MCS

με μέτρο π-2φ-β.
Τότε όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα η γωνία MSC

έχει μέτρο φ.

#10

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 9:16 pm

Με κέντρο και ακτίνα κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την στο εσωτερικό του σημείο , αφού η γωνία $\displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}}$ είναι οξεία.

Απολογούμαι, συμπληρώνω: "Που τέμνει την

σε εσωτερικό σημείο

αν $AB <\frac{BC}{2}$ ".
Πράγματι, αν $AB > \frac{BC}{2}$ το πρόβλημα δεν έχει λύση.

: 15-12-2017 Γεωμετρία.png (52.79 KiB) Προβλήθηκε 1854 φορές

KARKAR · #11

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 1850 φορές

Επειδή ( ως επιτροπή ) έγινα δέκτης πολλών παραπόνων για μεροληψία προς μία

ανεπαρκή λύση , αναρτώ ένα ακόμη σχήμα , ελπίζοντας να ατονήσουν οι διαμαρτυρίες

Ορέστης Λιγνός · #12

Θανάση συνέχισε να είσαι δίκαιος, αντικειμενικός, αμερόληπτος, αδέκαστος, απροκατάληπτος.

Ετσι μαθαίνουμε από μικροί ότι στη Ελλάδα ΠΑΝΤΑ υπάρχει ένα παρασκήνιο !!!

Υ.Γ. Θέλω να αγιάσω αλλά δεν με αφήνουν !!

Ανδρέας Πούλος · #13

Για να μη χάσω το "βραβείο".

Πρέπει να ισχύει 2φ + β < 180.
Υποθέτω αυτή παρατήρηση είναι ισοδύναμη με αυτή του Γιώργου Ρίζου για τη διερεύνηση της λύσης.
Πάντως, για άλλη μια φορά αποδεικνύεται ότι μια απλή άσκηση μπορεί να έχει ενδιαφέρον από την άποψη της μάθησης και της διδασκαλίας.
Τώρα, που το ξαναείδα, θα μπορούσε να γραφεί στην εκφώνηση, ότι το σημείο

ανήνει στον φορέα της διαμέσου,
οπότε μπορεί να βρίσκεται και εκτός του τριγώνου,
Έτσι, λύνεται το μειονέκτημα που επεσήμανε ο Γιώργος Ρίζος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #14

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο ,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Στις πανέμορφες λύσεις που προηγήθηκαν προσθέτω μια ακόμη

Με $\displaystyle C'$ συμμετρικό του $\displaystyle C$ ως προς $\displaystyle AM$ είναι $\displaystyle SC' = SC$ , $\displaystyle AB//SC'$

κι επειδή $\displaystyle BM = MC = MC'$ θα είναι $\displaystyle BC' \bot CC' \Rightarrow ASC'B$ παραλ/μμο.

Άρα $\displaystyle AB = SC' = SC$ .Η τομή του $\displaystyle \left( {C,AB} \right)$ με την $\displaystyle AM$ δίνει τη θέση του $\displaystyle S$

: D.O.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 1801 φορές

#15

: Beauty star.II.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 1760 φορές

KARKAR · #16

Κύριοι , όπως προείπαμε το στέμμα δεν επιστρέφεται , όσο και να προσπαθήσετε

Είναι αλήθεια πάντως , ότι η επιτροπή εντυπωσιάστηκε από κάποιες υποψήφιες , κυρίως

δε από εκείνη του Ορέστη αλλά - είπαμε - το που θα δοθεί ο τίτλος , ήταν προαποφασισμένο

Ιστοσελίδα · #17

: shape.png (38.3 KiB) Προβλήθηκε 1753 φορές

συμμετρικό του

ως προς

…

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #18

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο ,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Χωρίς επιπλέον γραμμές...

Έστω

σημείο στην

ώστε $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$

Επειδή η

είναι διάμεσος έχουμε:

(ABM)=(AMC)

και

, επομένως (ABS)=(ASC)

Είναι γνωστό (και προκύπτει εύκολα) ότι σε δύο τρίγωνα που έχουν μια γωνία ίση ή παραπληρωματική τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των προσκείμενων στη γωνία πλευρών. Επομένως από τα τρίγωνα ABS

και

έχουμε:

$\dfrac{AB \cdot AS}{SC \cdot AS}=\dfrac{(ABS)}{(ASC)} \Leftrightarrow \dfrac{AB}{SC} =1 \Leftrightarrow \boxed{AB=SC}$

KARKAR · #19

Τι γίνεται ρε παιδιά , Βενεζουέλα καταντήσαμε !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #20

: shape2.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 1715 φορές

μεσοκάθετος της

, $CS\parallel KM$ και αποδεσμευόμαστε απ’ το να είναι η

διάμεσος…

Διαγωνισμός ομορφιάς

Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Μέλη σε σύνδεση