Putnam 2017/A1

#1

Το

είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) $2 \in S$
(β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$ , και
(γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$ .

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο

(Το σύνολο

είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)

harrisp · #2

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 am
Το είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) $2 \in S$
(β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$ , και
(γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$ .

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο

(Το σύνολο είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)

Καλησπέρα κ. Δημήτρη!

Αρχικά είναι προφανές ότι το

δεν μπορεί να ανήκει στο

. Επίσης αν προκύψει ένα πολ. 5 θα πρέπει οπωσδήποτε να είχαμε και πριν ένα πολ. 5. Αλλά στην αρχή δεν είχαμε πολ. 5 οπότε δεν μπορεί να προκύψει και πολ. 5. Συνεπώς όλα τα πολλαπλάσια του 5 δεν ανήκουν και αυτά στο

.

Παρατηρούμε επίσης ότι αν ανήκει στο

το

τότε και το k+5

θα ανήκει στο

(Ιδιότητα $\star$ . Αυτό το βλέπουμε με εφαρμογή της (γ) και κατόπιν της (β).

Θα αποδείξουμε ότι $3 \in S$ . Θα χρησιμοποιήσω τα αντίστροφα βέλη για να δείξω τι αρκεί να αποδείξω:

$3 \leftarrow 9 \leftarrow 4 \leftarrow 16 \leftarrow 256\leftarrow 256^2$ δηλ. ότι $256^2\in S$ . Ομως:

$2 \rightarrow 49 \rightarrow 54 \rightarrow 54^2$ και 54^2=2916=5l+1

άρα αφού

με εφαρμογή της $\star$ πολλες φορές στο 54^2

αποδεικνύω ότι $256^2\in S$ άρα $3\in S$ και $4 \in S$ .

Είναι τέλος $3 \rightarrow 16 \rightarrow 21 \rightarrow 26 \rightarrow 31 \rightarrow 36 \rightarrow 6$ οπότε $2,3,4,6\in S$ άρα:

Ολοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός των πολλαπλασίων του 5 και το 1 ανήκουν στο

Putnam 2017/A1

Putnam 2017/A1

Re: Putnam 2017/A1

Μέλη σε σύνδεση