Πλευρά παραλληλογράμμου

Ιστοσελίδα · #1

: parallelogram.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε την πλευρά x = AB

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:45 pm
parallelogram.pngΣτο παραλληλόγραμμο , του παραπάνω σχήματος, να βρείτε την πλευρά

Αν η

κόψει την

στο

θα είναι ισοσκελή και όμοια τα τρίγωνα ,

$EZC\,,\,\,ATE\,,\,ETD$ ενώ τα τρίγωνα $DAE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EAZ$ είναι όμοια .

Έτσι θα έχω :

: πλευρά παραλληλογράμμου_ok.png (29.24 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{TD}}{{ZC}} = \frac{{DE}}{{EC}} \hfill \\ \frac{{AE}}{{EZ}} = \frac{{TE}}{{CZ}} \hfill \\ \frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{DE}}{{EZ}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{TD}}{1} = \frac{y}{k} \hfill \\ \frac{{AE}}{k} = \frac{y}{1} \hfill \\ \frac{4}{{ky}} = \frac{y}{k} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} TD = \frac{y}{k} \hfill \\ AE = ky \hfill \\ 4 = {y^2} \hfill \\ TD + DA = AE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ 4 + \frac{y}{k} = ky \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ {k^2} - 2k - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Και άρα $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ k = 1 + \sqrt 2 \hfill \\ \boxed{x = 3 + \sqrt 2 } \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:45 pm
parallelogram.pngΣτο παραλληλόγραμμο , του παραπάνω σχήματος, να βρείτε την πλευρά

Χαιρετώ τους φίλους!

: Πλευρά παραλληλογράμμου.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 946 φορές

Φέρνω

Επειδή $A\widehat HZ=A\widehat EZ=\omega,$ το AEZA

είναι εγγράψιμο και $C\widehat EZ=E\widehat ZH=E\widehat AH=\varphi.$

Άρα η

εφάπτεται του κύκλου στο

οπότε $\displaystyle D{E^2} = DH \cdot DA = 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{DE=2}$

Έστω ότι η

τέμνει κύκλο στο

. Τα τρίγωνα ECZ, ABP

είναι όμοια, απ' όπου παίρνω $\displaystyle BP = \frac{x}{{x - 2}}$

$\displaystyle C{E^2} = CZ \cdot CP \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 4 + \frac{x}{{x - 2}} \Leftrightarrow x({x^2} - 6x + 7) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = 3 + \sqrt 2 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 11:45 pm
parallelogram.pngΣτο παραλληλόγραμμο , του παραπάνω σχήματος, να βρείτε την πλευρά

Λόγω της ισότητος των κόκκινων γωνιών και των μπλε θα είναι $\displaystyle \vartriangle DEA \simeq \vartriangle EAQ \simeq \vartriangle PAB$

$\displaystyle \frac{{EZ}}{{ZQ}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EQ = 4EZ$ και $\displaystyle A{E^2} = EZ \cdot EQ = 4E{Z^2}$

Από την παραπάνω ομοιότητα έχουμε $\displaystyle \frac{{AE}}{{EZ}} = \frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{PB}}{{AB}} = 2$

Άρα $\displaystyle \frac{4}{{DE}} = 2 \Rightarrow \boxed{DE = 2}$ και $\displaystyle \frac{{PB}}{x} = 2 \Rightarrow PB = 2x \Rightarrow \boxed{PZ = 2x - 3}$ .Ακόμη, $\displaystyle \frac{{EZ}}{{ZQ}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \boxed{ZQ = 3(x - 2)}$

Αφού $\displaystyle PEBQ$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow EZ \cdot ZQ = PZ \cdot ZB \Rightarrow (x - 2) \cdot 3(x - 2) = 3\left( {2x - 3} \right) \Rightarrow \boxed{x = 3 + \sqrt 2 }$

: π.π.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

Πλευρά παραλληλογράμμου

Πλευρά παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά παραλληλογράμμου

Re: Πλευρά παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση