Αντιδιαμετρικά

[KARKAR]

Αντιδιαμετρικά.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

Από σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέραμε τα εφαπτόμενα

τμήματα και τμήμα , του οποίου το μέσο ονομάσαμε .

Η ημιευθεία τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η προέκταση της τον τέμνει το .

Δείξτε ότι το σημείο είναι το αντιδιαμετρικό του .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι αρμονικό, καθώς το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία , δηλαδή το , είναι στην διαγώνιο .

Επομένως από γνωστό λήμμα έχουμε πως η τετράδα δεσμών , που ταυτίζεται με την είναι αρμονική.

Αφού όμως η διχοτομεί την , έχουμε από γνωστό λήμμα πως , και αφού , προκύπτει πως , άρα τα είναι αντιδιαμετρικά.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι αρμονικό, καθώς το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία , δηλαδή το , είναι στην διαγώνιο .

Επομένως από γνωστό λήμμα έχουμε πως η τετράδα δεσμών , που ταυτίζεται με την είναι αρμονική.

Αφού όμως η διχοτομεί την , έχουμε από γνωστό λήμμα πως , και αφού , προκύπτει πως , άρα τα είναι αντιδιαμετρικά.

[Doloros]

Αντιδιαμετρικά

Αφού δώσω τα εύσημα στον Διονύση για την ωραία απάντηση , δίνω και τα εύσημα στον Θανάση για την ωραία ( μάλλον δικής του κατασκευής ) άσκηση ,

αλλά και για τις τόσο ωραίες ασκήσεις που καθημερινά μας ενθουσιάζουν.

Τώρα δίνω τις δύο προτάσεις που αναφέρεται ο Διονύσης και μια παρεμφερή λύση με πολικές .

Λήμμα 1_αρμονικότητας.png (20.71 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

1. Έχω ένα κύκλο διαμέτρου . Από σημείο της ευθείας φέρνω τις εφαπτόμενες και μια τυχαία τέμνουσα .

Αν οι ευθείες τμηθούν στο και οι στο , τότε η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η

ενώ η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η και τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των .

Λήμμα 2_αρμονικότητας.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

2. Έχω τρίγωνο και το μέσο του . Τυχαία ευθεία τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα και στο την παράλληλη από το προς τη .

Πάλι κι εδώ τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή στα . Ισχύουν δε και τα δύο αντίστροφα που μπορούμε να διατυπώσουμε.

Τώρα στην άσκηση μας ισχύει η πρώτη πρόταση αυτούσια ενώ για το τρίγωνο

Αντιδιαμετρικά.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

το αντίστροφο της δεύτερης πρότασης συνεπώς η .

Δηλαδή και συνεπώς τα αντιδιαμετρικά.

[KARKAR]

Mongolian test 2008.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Given a circumscribed trapezium with circumcircle and 2 parallel sides

( ) . Tangent line of circle at the point meets with the line at point .

is another tangent line of circle and . The line meets circle at point .

The line passing through the point paralel to intersects with and at points

and respectively. Prove that is midpoint of segment .

Νίκο όπως βλέπεις δεν είναι δική μου δημιουργία αλλά Μογγολική . Βεβαίως έκανα

σοβαρή μεταποίηση , υπολογίζοντας σε στοιχειωδέστερη λύση , που μάλλον δεν ...

[Doloros]

Mongolian test 2008.pngGiven a circumscribed trapezium with circumcircle and 2 parallel sides

( ) . Tangent line of circle at the point meets with the line at point .

is another tangent line of circle and . The line meets circle at point .

The line passing through the point paralel to intersects with and at points

and respectively. Prove that is midpoint of segment .

Νίκο όπως βλέπεις δεν είναι δική μου δημιουργία αλλά Μογγολική . Βεβαίως έκανα

σοβαρή μεταποίηση , υπολογίζοντας σε στοιχειωδέστερη λύση , που μάλλον δεν ...

θα ψάξω λοιπόν και για στοιχειώδη λύση .


Δες πάντως ότι

Moggolia_ KARKAR.png (36.4 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Η άσκηση της Μογγολίας έχει ίδια εν γένει αντιμετώπιση με τη διασκευασμένη .