Παραλληλία με προϋποθέσεις

#1

: Παραλληλία με προϋποθέσεις.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Έστω

σημείο του μικρού τόξου

στον περίκυκλο οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Επί των

θεωρούμε τα

σημεία E, F

αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle BE \bot AM,MF \bot AC$ . Να δείξετε ότι EF||BC

αν και μόνο αν το

είναι μέσο

του τόξου BC.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 14, 2017 7:15 pm
Παραλληλία με προϋποθέσεις.png
Έστω σημείο του μικρού τόξου στον περίκυκλο οξυγώνιου τριγώνου Επί των θεωρούμε τα

σημεία αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle BE \bot AM,MF \bot AC$ . Να δείξετε ότι αν και μόνο αν το είναι μέσο

του τόξου

Έστω $\displaystyle M$ μέσον του τόξου $\displaystyle BC$ και $\displaystyle BE \cap AC = N$

Επειδή $\displaystyle AM$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle A$ ,από το $\displaystyle \vartriangle ADC$ είναι, $\displaystyle \angle BDE = \angle EDN = x + y \Rightarrow NDMC$

εγγράψιμο άρα $\displaystyle \angle MNC = \angle CDM = x + y$

Έτσι , $\displaystyle F,E$ μέσα των $\displaystyle BN,NC \Rightarrow \boxed{EF//BC}$

Αντίστροφα έστω $\displaystyle EF//BC$

Από το εγγράψιμο $\displaystyle ENFM \Rightarrow \angle MNC = \angle FEM = \angle CDM \Rightarrow NDMC$

εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow \angle NMD = \angle AMB = y$

Έτσι , $\displaystyle AM$ μεσοκάθετος της $\displaystyle BN$ δηλαδή διχοτόμος της $\displaystyle A \Rightarrow M$ μέσον του τόξου $\displaystyle BC$

: PMP.png (27.2 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Παραλληλία με προϋποθέσεις

Παραλληλία με προϋποθέσεις

Re: Παραλληλία με προϋποθέσεις

Μέλη σε σύνδεση