Ίσα τμήματα! (2)

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε τις δύο τυχαίες τέμνουσες και στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του και του στον κύκλο. Έστω ότι οι και τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .

(είναι μια πρώτη γενίκευση του προβλήματος που είδαμε εδώ)

Ίσα τμήματα! (2).png (20.34 KiB) Προβλήθηκε 1415 φορές

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Επαναφορά...

[min##]

Ωραίο...για κάποιο λόγο με δυσκόλεψε αρκετά(δοκίμασα διάφορα που απέτυχαν)...Θα αποδείξω το ισοδύναμο:Άν (),τότε τα είναι συνευθειακά.Δηλαδή θα δείξω ότι με τομή των .Με τομή .Με κατάλληλους νόμους ημιτόνων στα παίρνουμε (λόγω καθετοτήτων).Ομοίως, , και αντικαθιστώντας στην αρκεί να δείξω ότι ,από το οποίο,απλοποιώντας μένει που ισχύει από τα όμοια τρίγωνα .

[Al.Koutsouridis]

Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε τις δύο τυχαίες τέμνουσες και στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του και του στον κύκλο. Έστω ότι οι και τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .

(είναι μια πρώτη γενίκευση του προβλήματος που είδαμε εδώ)
Ίσα τμήματα! (2).png

Η άχαρη λύση με τους μιγαδικούς στον αναφερθέν σύνδεσμο μπορεί εύκολα και πιο φυσικά, να προσαρμοστεί στην παρούσα περίπτωση.

Αυτή την φορά για τα σημεία έχουμε





Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι (1), ή ισοδύναμα





(2)

Από την άλλη το σημείο είναι το σημείο τομής των χορδών που ορίζονται από τους μιγαδικούς και καθώς και από τους μιγαδικούς και . Οπότε για τον μιγαδικό θα ισχύει





Εξισώνοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε



Δηλαδή η σχέση (2) ισχύει, άρα και η (1) γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Ωραίες λύσεις!

Μια διαφορετική αντιμετώπιση:

Ίσα τμήματα! (2) sol.png (46.72 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

Θα αποδείξουμε αρχικά ένα "λήμμα":

Έχουμε το εγγράψιμο, σε κύκλο με κέντρο , τετράπλευρο και έστω είναι το συμμετρικό του ως προς το . Έστω η τομή της και και η τομή της και . Να αποδειχθεί πως είναι συνευθειακά και πως .

Έστω η τομή του και του . Από για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.

Από όμως για το μη κυρτό αλλά εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο έχουμε πως το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , το σημείο τομής των και , δηλαδή το , είναι συνευθειακά σημεία.

Έπεται λοιπόν από τις δύο παραπάνω συνευθειακότητες ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Ακόμα έχουμε τώρα πως τα τετράπλευρα και είναι όμοια. Επομένως έχουμε πως . Από εγγεγραμμένες όμως έχουμε πως . Άρα και αφού έχουμε πως .

Ας γυρίσουμε πίσω στο αρχικό μας πρόβλημα. Από το προηγούμενο λήμμα αποδείξαμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά, που σημαίνει πως τα σημεία που η τέμνει τις θα είναι τα του λήμματος, με άλλα λόγια πράγματι θα ισχύει πως .