Αντίστροφη και ανίσωση
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Αντίστροφη και ανίσωση
Δίνεται η συνάρτηση
A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Γ) Αφού αποδείξετε ότι η είναι να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση και να λύσετε στο την ανίσωση
A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Γ) Αφού αποδείξετε ότι η είναι να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση και να λύσετε στο την ανίσωση
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστροφη και ανίσωση
Καλησπέρα Γιώργο.
Α) Πρέπει προφανώς .
Για να ορίζεται το πρέπει :
.
Β) Θεωρούμε δύο με .
Είναι (1).
Όμοια, αποδεικνύουμε ότι (2).
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (1), (2) και έχουμε
.
Η , σε συνδυασμό με την , δίνει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Η συνάρτηση έχει και είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το .
Προφανώς, .
Μένει λοιπόν να βρούμε το .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και , οπότε .
Είναι , επομένως θέτοντας έχουμε:
.
Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε .
Γ) Η είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε είναι 1-1.
Έστω . Τότε, .
Πρέπει , αφού η είναι η γνησίως αύξουσα.
Οπότε .
Θα δείξουμε τώρα ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω δύο με .
Είναι
, οπότε γνησίως φθίνουσα.
Πάμε τώρα στην ανίσωση.
Πρέπει καταρχήν , οπότε θα προκύψει ότι .
Τώρα, επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα, η ανίσωση γράφεται .
Αν τώρα η ανίσωση γίνεται , αδύνατη.
Επομένως, , και αφού , ανίσωση γίνεται, .
Διόρθωσα την απάντηση όπως πολύ διακριτικά επισημαίνει ο kfd πιο κάτω!!
Α) Πρέπει προφανώς .
Για να ορίζεται το πρέπει :
.
Β) Θεωρούμε δύο με .
Είναι (1).
Όμοια, αποδεικνύουμε ότι (2).
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (1), (2) και έχουμε
.
Η , σε συνδυασμό με την , δίνει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Η συνάρτηση έχει και είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το .
Προφανώς, .
Μένει λοιπόν να βρούμε το .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και , οπότε .
Είναι , επομένως θέτοντας έχουμε:
.
Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε .
Γ) Η είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε είναι 1-1.
Έστω . Τότε, .
Πρέπει , αφού η είναι η γνησίως αύξουσα.
Οπότε .
Θα δείξουμε τώρα ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω δύο με .
Είναι
, οπότε γνησίως φθίνουσα.
Πάμε τώρα στην ανίσωση.
Πρέπει καταρχήν , οπότε θα προκύψει ότι .
Τώρα, επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα, η ανίσωση γράφεται .
Αν τώρα η ανίσωση γίνεται , αδύνατη.
Επομένως, , και αφού , ανίσωση γίνεται, .
Διόρθωσα την απάντηση όπως πολύ διακριτικά επισημαίνει ο kfd πιο κάτω!!
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τρί Σεπ 26, 2017 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες