Ψάχνοντας για ερώτημα...

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sin x}}$ .

Αν η εξίσωση f(x)=x

, $x\in (0,\pi )$ έχει ακριβώς δύο ρίζες, έστω $x_{1},x_{2}$ , τότε να συγκριθούν οι παρακάτω αριθμοί:

$\displaystyle{f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right ),\hspace{2mm} \frac{x_{1}+x_{2}}{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε: Τρί Σεπ 26, 2017 3:28 pm Έστω η συνάρτηση $f:(0,\pi )\longrightarrow \mathbb{R}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sin x}}$ .

Αν η εξίσωση , $x\in (0,\pi )$ έχει ακριβώς δύο ρίζες, έστω $x_{1},x_{2}$ , τότε να συγκριθούν οι παρακάτω αριθμοί:

$\displaystyle{f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right ),\hspace{2mm} \frac{x_{1}+x_{2}}{2}}$ Φιλικά,
Μάριος

: MV.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

$\displaystyle OM = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = MP = \frac{{f({x_1}) + f({x_2})}}{2}$ . Αλλά, από εδώ η συνάρτηση

είναι κυρτή, οπότε

$\displaystyle \frac{{f({x_1}) + f({x_2})}}{2} > f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)$ , άρα και $\boxed{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}$

Ψάχνοντας για ερώτημα...

Ψάχνοντας για ερώτημα...

Re: Ψάχνοντας για ερώτημα...

Μέλη σε σύνδεση