Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC,

αν γνωρίζουμε τη γωνία $\widehat A=\omega,$ τη διχοτόμο AD=d

και το εμβαδόν του (ABC)=k^2.

KARKAR · #2

: Κατασκευή.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές

Κατασκευάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο ASP

, το οποίο έχει γνωστό εμβαδόν ,

έστω m^2

. Αν $\displaystyle ABC$ είναι το ζητούμενο τρίγωνο και $PT \parallel AB$ , τότε αρκεί :

$(PTC)=k^2-m^2\Rightarrow xy=\dfrac{2(k^2-m^2)}{sinA}$ . Αλλά είναι : $\dfrac{x}{b-x}=\dfrac{y}{b+y}$ ,

οπότε : $y-x=\dfrac{4(k^2-m^2)}{b sinA}$ , (

γνωστό ) . Τα τμήματα λοιπόν x,y

, έχουν

γνωστό γινόμενο και γνωστή διαφορά , οπότε κατασκευάζονται κατά τα γνωστά .

#3

Μια άλλη προσέγγιση: Αφού το εμβαδόν είναι γνωστό και η γωνία $\widehat A$ είναι γνωστή το γινόμενο $AB \cdot AC$ είναι γνωστό και κατασκευάσιμο. Αφού και η διχοτόμος είναι γνωστή τότε αφού $AB\cdotAC=AD^{2}+BD\dot CD$ είναι γνωστό και κατασκευάσιμο το γινόμενο $BD \cdot CD$ ας πούμε ότι είναι ίσο με m^2

. Κατασκευάσουμε τμήμα

και τις ευθείες

,

.

: areabis.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Κατασκευάζουμε το αντίστροφο της ευθείας

ως προς την ανtιστροφή με κέντρο

και δύναμη

που είναι κύκλος. Επιλέγουμε ένα από τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία

. Θα είναι το

οπότε και το

κατασκευάζεται.
Αν επιλέξουμε την άλλη τομή θα οδηγηθούμε σε τρίγωνο ίσο με το προηγούμενο.

#4

nsmavrogiannis έγραψε:Μια άλλη προσέγγιση: Αφού το εμβαδόν είναι γνωστό και η γωνία $\widehat A$ είναι γνωστή το γινόμενο $AB \cdot AC$ είναι γνωστό και κατασκευάσιμο. Αφού και η διχοτόμος είναι γνωστή τότε αφού $AB\cdotAC=AD^{2}+BD\dot CD$ είναι γνωστό και κατασκευάσιμο το γινόμενο $BD \cdot CD$ ας πούμε ότι είναι ίσο με . Κατασκευάσουμε τμήμα και τις ευθείες , .
areabis.png
Κατασκευάζουμε το αντίστροφο της ευθείας ως προς την ανtιστροφή με κέντρο και δύναμη που είναι κύκλος. Επιλέγουμε ένα από τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία . Θα είναι το οπότε και το κατασκευάζεται.
Αν επιλέξουμε την άλλη τομή θα οδηγηθούμε σε τρίγωνο ίσο με το προηγούμενο.

Πολύ μου άρεσε Νίκο!

#5

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Φέρνω τις αποστάσεις DZ,DK

του

από τις

.
Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $ZDA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KDA$ κατασκευάζονται αφού έχουν δεδομένη την υποτείνουσα AD = d

και τη οξεία γωνία $\boxed{\widehat \theta = \frac{{\widehat \omega }}{2}}$ .

Φέρνω και την παράλληλη από το

προς την

και τέμνει την

στο

.

Έχω λοιπόν σταθερά : $\left\{ \begin{gathered} AZ = AK = v \hfill \\ DZ = DK = u \hfill \\ DL = s \hfill \\ (ABC) = {k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Είναι : $(ABC) = (ABD) + (ACD) \Rightarrow \boxed{b + c = \frac{{2{k^2}}}{u}}\,\,(1)$ . λόγω της προφανους

ομοιότητας: $\vartriangle CDL \approx \vartriangle CBA \Rightarrow \dfrac{{CL}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow \dfrac{{CL}}{{BA - CL}} = \dfrac{{CD}}{{CB - CD}}$ και άρα

$\boxed{\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{s}}\,\,(2)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ προσδιορίζονται τα $b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c$ και έτσι είναι

Δυνατή η κατασκευή του $\vartriangle ABC$ .

S.E.Louridas · #6

Καλημέρα.

Ανάλυση:
Έστω

η απόσταση της

από την ευθεία

και

η απόσταση της

από την

Τότε έχουμε $\displaystyle{x + y = \frac{{2{k^2}}}{{d}}.}$

Σύνθεση:
Παίρνουμε σαν βάση τη γωνία $\angle xAy = \omega$ και σημείο

της διχοτόμου της, τέτοιο ώστε AD = d.

Θεωρούμε τη παράλληλη ευθεία στην

που απέχει από αυτή απόσταση $\displaystyle{x + y = \frac{{2{k^2}}}{{d}}.}$ Αν αυτή τμήσει την

στο

, τότε αν η

τμήσει την

στο

έχουμε το ζητούμενο τρίγωνο ABC.

KARKAR · #7

: κατασκευή συμπλήρωμα.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Ας δώσω και κάποιες πρόσθετες πληροφορίες : Αν y-x=d

και $x\cdot y=s^2$ , τότε η

κατασκευή των x,y

που φαίνεται και στο σχήμα γίνεται ως εξής : Θεωρούμε κύκλο

διαμέτρου

και εφαπτόμενο τμήμα του TS=s

. Η τέμνουσα SAB

,

η οποία διέρχεται από το κέντρο δίνει τα ζητούμενα x,y

( μας αρκεί το ένα ! )

: Κατασκευή.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Η κατασκευή του παραδείγματος έγινε για διχοτόμο AD=4

και γωνία $\hat{A}$ , για την οποία

είναι : $\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{5}$ , οπότε $\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{4}{5}$ και $sinA=2sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{24}{25}$ .

Τότε είναι (ASP)=m^2=12

και έστω ότι θέλουμε (ABC)=16=k^2

. Ακολουθώντας

τους τύπους της λύσης θα βρούμε $y-x=\dfrac{10}{3}$ και $xy=\dfrac{25}{3}$ , οπότε : $x=\dfrac{5}{3}$ και y=5

S.E.Louridas · #8

Απλά επανέρχομαι στα πλαίσια της διερεύνησης (λίαν σημαντικό κομμάτι της λύσης), για να αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό έχει λύση αν

$\displaystyle{\sin \angle \frac{A}{2} < \frac{{2{k^2}}}{{{d^2}}}.}$

#9

Το πρόβλημα ανάγεται στο να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC,

από τη γωνία $\widehat A=\omega,$ τη διχοτόμο AD=d

και το άθροισμα $b+c=\lambda$ (αποδείχθηκε από τον Νίκο Φραγκάκη ότι είναι σταθερό).

: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Κατασκευάζω γωνία $x\widehat Ay=\omega$ και έστω σημείο

τη διχοτόμου της, ώστε AD=d.

Επειδή το άθροισμα b+c

είναι σταθερό,

από το θεώρημα MacLaurin το σημείο

της διχοτόμου θα είναι σταθερό, άρα και το τμήμα DS.

Γράφω τα τόξα με κοινή χορδή

που δέχονται γωνία $\theta=\dfrac{\omega}{2}.$ Αυτά τα τόξα τέμνουν τις Ax, Ay

στις άλλες δύο κορυφές B, C

του ζητούμενου τριγώνου ABC.

(Το ένα τόξο αρκεί, ώστε να προσδιοριστεί η μία κορυφή. Η άλλη προκύπτει με τη βοήθεια αυτής και του σημείου

)

#10

Mα αυτά και μ αυτά (Ανάλυση και κατασκευή από τον Θανάση, Λύση με αντιστροφή (ουάου!) από τον Νίκο, διερεύνηση από τον Σωτήρη και λύση με το Θ. Maclaurin

από το Γιώργο) ή άσκηση αποκτά δυνατή διδακτική αξία.

Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση