Καθετότητα σε ισοσκελές

#1

: Καθετότητα σε ισοσκελές.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Έστω ευθεία $(\varepsilon)$ που διέρχεται από την κορυφή

ισοσκελούς τριγώνου ABC

και είναι παράλληλη στη βάση

και

τυχαίο

σημείο της βάσης. Αν

είναι η προβολή του

στην

και

το συμμετρικό του

ως προς την $(\varepsilon),$ να δείξετε ότι $\displaystyle{BH \bot HQ}.$

nikkru · #2

Έστω ευθεία $(\varepsilon)$ που διέρχεται από την κορυφή

ισοσκελούς τριγώνου ABC

και είναι παράλληλη στη βάση

και

τυχαίο

σημείο της βάσης. Αν

είναι η προβολή του

στην

και

το συμμετρικό του

ως προς την $(\varepsilon),$ να δείξετε ότι $\displaystyle{BH \bot HQ}.$ [/quote]

: καθετότητα σε ισοσκελές.png (24.09 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

, τότε

άρα $\widehat{NBC}=90^o$ και $\widehat{NQP}=90^o$ (αφού NQ//BC

).

Αφού $\widehat{PHC}=90^o$ το

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ορθογωνίου BPQN

, οπότε και $\widehat{BHQ}=90^o$ ( NP,BQ

διάμετροι).

#3

george visvikis έγραψε: Έστω ευθεία $(\varepsilon)$ που διέρχεται από την κορυφή ισοσκελούς τριγώνου και είναι παράλληλη στη βάση και τυχαίο σημείο της βάσης. Αν είναι η προβολή του στην και το συμμετρικό του ως προς την $(\varepsilon),$ να δείξετε ότι $\displaystyle{BH \bot HQ}.$

.

Ας δούμε μια διαφετική προσέγγιση μετά την καταπληκτική λύση! του συναδέλφου στην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση.

: Καθετότητα σε ισοσκελές.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Έστω $K\equiv AQ\cap BC$ και ας είναι οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα.

Τότε με το μέσο της $PQ\mathop \Rightarrow \limits^{AN\parallel KP,N \equiv \left( \varepsilon \right) \cap PQ} AQ = AK\mathop \Rightarrow \limits^{AM\parallel PQ,M \in BC}$ $KM = MP\mathop \Rightarrow \limits^{BM = MC\left( {AB = AC} \right)} \boxed{BP = KC}:\left( 1 \right)$

Με το μέσο της $KQ\mathop \Rightarrow \limits^{KE\parallel FH\left( {\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau \eta \nu \,\,AC} \right)} \boxed{HF = KE}:\left( 2 \right)$ και με $PH\parallel KE$ (κάθετες στην $\left. {AC} \right)$

$\Rightarrow \angle HPL = \angle CKE\mathop \Rightarrow \limits^{\angle PLH = \angle CEK = {{90}^0}} \vartriangle PLH \sim \vartriangle KEC$ $\Rightarrow \dfrac{{PL}}{{KE}} = \dfrac{{PH}}{{KC}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \boxed{\dfrac{{PL}}{{FH}} = \dfrac{{PH}}{{PB}}}:\left( 3 \right)$ .

Από τη σχέση $\left( 3 \right)$ προκύπτει σύμφωνα με το [/color][color=#000000][b][i]Stathis Ko ... b][/color] θα είναι $QH\bot BH$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί..

Στάθης

Καθετότητα σε ισοσκελές

Καθετότητα σε ισοσκελές

Re: Καθετότητα σε ισοσκελές

Re: Καθετότητα σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση