Πρόσημο και ανισότητα
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Πρόσημο και ανισότητα
A) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης
Β) Για κάθε να δείξετε ότι
Β) Για κάθε να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Καλησπέρα, όμορφη άσκηση.
Α) Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :
στο , όπου
.
Μελετούμε τη μονοτονία της .
.
Θεωρούμε την , με στο .
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και για κάθε είναι :
. Οπότε :
, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Για , είναι :
, όπως θέλαμε.
Β) Για κάθε , το , οπότε η σχέση του Α ερωτήματος, για , γίνεται :
.
Α) Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :
στο , όπου
.
Μελετούμε τη μονοτονία της .
.
Θεωρούμε την , με στο .
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και για κάθε είναι :
. Οπότε :
, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Για , είναι :
, όπως θέλαμε.
Β) Για κάθε , το , οπότε η σχέση του Α ερωτήματος, για , γίνεται :
.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Αρκεί να δείξουμε ότι
Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση ορισμένη στο ,
αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα και αφού
έχουμε ότι άρα .
για το β ερώτημα όμοια με τον Λάμπρο.
Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση ορισμένη στο ,
αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα και αφού
έχουμε ότι άρα .
για το β ερώτημα όμοια με τον Λάμπρο.
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Καλησπέρα, όμορφη άσκηση.
Α) Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :
στο , όπου
.
Μελετούμε τη μονοτονία της .
.
Θεωρούμε την , με στο .
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και για κάθε είναι :
. Οπότε :
, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Για , είναι :
, όπως θέλαμε.
Β) Για κάθε , το , οπότε η σχέση του Α ερωτήματος, για , γίνεται :
.
Καλημέρα! Επειδή για αυτήν την άσκηση (στην αρχική της μορφή) έκανα σχεδόν τα πάντα αλλά δεν εφάρμοσα τον...χρυσό κανόνα
(νομίζω του Γ.Μπαϊλάκη) ΄"Οταν δε μπορείς να κάνεις κάτι με την αφαίρεση τότε δοκίμασε πηλίκο!".
Το έπραξε ο Λάμπρος και είναι όλα μια χαρά!
Ωραία άσκηση, από εκείνες που έχουν ένα μυστήριο, πέρα από μεθοδολογίες και λοιπά.
Χρήστος Κυριαζής
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Καλημέρα Χρήστο.
Δες, αν θέλεις, αυτήν
viewtopic.php?f=55&t=59513
Στο μεταξύ, το πρόβλημα στη λύση του xrtsif είναι ότι
ενώ το , το βγαίνει εκτός και επομένως η μονοτονία της δεν αποδίδει.
Δες, αν θέλεις, αυτήν
viewtopic.php?f=55&t=59513
Στο μεταξύ, το πρόβλημα στη λύση του xrtsif είναι ότι
ενώ το , το βγαίνει εκτός και επομένως η μονοτονία της δεν αποδίδει.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Ωραία λύση Λάμπρο!Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Καλησπέρα, όμορφη άσκηση.
Α) Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :
στο , όπου
.
Μελετούμε τη μονοτονία της .
.
Θεωρούμε την , με στο .
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και για κάθε είναι :
. Οπότε :
, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Για , είναι :
, όπως θέλαμε.
Β) Για κάθε , το , οπότε η σχέση του Α ερωτήματος, για , γίνεται :
.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πρόσημο και ανισότητα
Θα δώσω μια απόδειξη χωρίς να γίνει αλλαγή μεταβλητής.Σε τέτοιου είδους ανισότητες όλα τα λεφτά είναι ποιαgeorge visvikis έγραψε:
Β) Για κάθε να δείξετε ότι
συνάρτηση θα θέσεις.
Θέλουμε για να έχουμε
η ισοδύναμα
Την μπορούμε να την ορίσουμε και στο θέτοντας Είναι
Επίσης η είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ανοικτό.
Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι κοίλη.
Παραγωγίζοντας δύο φορές έχουμε
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι
Παίρνουμε ότι
Αλλά
Επειδή είναι είναι
οπότε
και η απόδειξη είναι πλήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες