Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει κλάσμα όπου ακέραιοι
ώστε: και
(b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι ώστε να μην υπάρχει κλάσμα όπου ακέραιοι ώστε: και
ώστε: και
(b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι ώστε να μην υπάρχει κλάσμα όπου ακέραιοι ώστε: και
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
α. Έστω . Για ισχύουν
που μας δίνουν τα επιθυμητά κλάσματα.
β. Έστω και . Παίρνουμε
Έτσι, όλοι οι αριθμοί της μορφής χρειάζονται παρονομαστή μεγαλύτερο του .
που μας δίνουν τα επιθυμητά κλάσματα.
β. Έστω και . Παίρνουμε
Έτσι, όλοι οι αριθμοί της μορφής χρειάζονται παρονομαστή μεγαλύτερο του .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Ευχαριστώ κύριε Δημήτρη για την όμορφη λύση σας!dement έγραψε:α. Έστω . Για ισχύουν
που μας δίνουν τα επιθυμητά κλάσματα.
β. Έστω και . Παίρνουμε
Έτσι, όλοι οι αριθμοί της μορφής χρειάζονται παρονομαστή μεγαλύτερο του .
Μπορείτε όμως να πείτε και πώς καταλήξατε σε αυτές τις ανισότητες;
Να σημειώσω ότι το πρόβλημα αυτό είναι το Α5 της IMO 2016 SL.
Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Γεια σου Χάρη. Έλυσα πρώτα το β, υποθέτοντας διαισθητικά (και στη συνέχεια αποδεικνύοντας) ότι αν ο είναι κοντά σε τέλειο τετράγωνο θα θέλει και μεγάλο παρονομαστή.
Έχοντας κάνει αυτό, είδα ότι το απαιτούμενο κλάσμα είναι το . Στη συνέχεια, κοιτώντας τα αναπτύγματα Taylor των ριζών, επεξέτεινα το αποτέλεσμα στη γενική περίπτωση.
Έχοντας κάνει αυτό, είδα ότι το απαιτούμενο κλάσμα είναι το . Στη συνέχεια, κοιτώντας τα αναπτύγματα Taylor των ριζών, επεξέτεινα το αποτέλεσμα στη γενική περίπτωση.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες