Τετμημένη του Τ

KARKAR · #1

: Τετμημένη του Τ.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Συνδέουμε το σημείο S(2r,0)

με τυχόν σημείο

του κύκλου x^2+y^2=r^2

.

Η κάθετη της ακτίνας

στο κέντρο

και η μεσοκάθετη της

τέμνονται

στο σημείο

, του οποίου καλείσθε να βρείτε την τετμημένη .

#2

Μια λύση εκτός φακέλου .

: τετμημένη του T.png (30.55 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Αν

το μέσο του

προφανώς αυτό ανήκει στο κύκλο . Θεωρώ

την προβολή

του

στην

. Επειδή $T{S^2} - T{O^2} = 2OS \cdot KN \Leftrightarrow T{A^2} - T{O^2} = 4r \cdot KN$ θα είναι :

$\displaystyle{{r^2} = 4r \cdot KN \Leftrightarrow \boxed{KN = \frac{r}{4} \Leftrightarrow OK = \frac{{3r}}{4}}}$ Δηλαδή το

ανήκει στη σταθερή ευθεία με

εξίσωση : $\boxed{x = \frac{{3r}}{4}}$

Ορέστης Λιγνός · #3

Έστω

με

(1).

Το

είναι το μέσο του

, και άρα $M(\dfrac{a+2r}{2},\dfrac{b}{2})$ .

Ο συντελεστής διεύθυνσης $\lambda_{AS}$ της ευθείας

είναι $\dfrac{b}{a-2r}$ .

Είναι $AS \perp TM \Rightarrow \lambda_{AS} \perp \lambda_{TM}=-1 \Rightarrow \lambda_{TM}=\dfrac{2r-a}{b}$ (2).

Αφού το $M(\dfrac{a+2r}{2},\dfrac{b}{2})$ είναι σημείο του

, είναι $y-\dfrac{b}{2}=\dfrac{2r-a}{b} (x-\dfrac{a+2r}{2}) \Rightarrow \boxed{y=\dfrac{2r-a}{b}x+\dfrac{b}{2}-\dfrac{4r^2-a^2}{2b}}$ (η εξίσωση της ευθείας

).

Είναι O(0,0), A(a,b)

, οπότε $\lambda_{OA}=\dfrac{b}{a}$ (3).

Αφού όμως $OA \perp OT \Rightarrow \lambda_{OA} \lambda_{OT}=-1 \mathop \Rightarrow \limits^{(3)} \lambda_{OT}=\dfrac{-a}{b}$ , και αφού αυτή η ευθεία (η

) διέρχεται από το

, έχει εξίσωση $y=\dfrac{-a}{b}x$ .

Το

είναι η τομή των ευθειών $OT:y=\dfrac{-a}{b}x$ και $MT:y=\dfrac{2r-a}{b}x+\dfrac{b}{2}-\dfrac{4r^2-a^2}{2b}$ .

Εύκολα πλέον μπορούμε να βρούμε ότι (χρησιμοποιούμε την (1) ) $\boxed{x_{T}=\dfrac{3r}{4}}$ .

#4

Άλλος τρόπος ( διανυσματικά)

Ας είναι $A(2a,2b)\,\,\mu \varepsilon \,\,4{a^2} + 4{b^2} = {r^2}\,\,(1)$ . Θα είναι έτσι M(a + r,b)

, έστω δε

. Θα έχουμε : $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {OA} = (2a,2b) \hfill \\ \overrightarrow {OT} = (x,y) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = (r - a, - b) \hfill \\ \overrightarrow {MT} = (x - a - r,y - b) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OT} \hfill \\ \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {MT} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ax + by = 0 \hfill \\ (r - a)(x - a - r) - b(y - b) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ή

: τετμημένη του T_διανυσματικά.png (26.01 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

$\left\{ \begin{gathered} ax + by = 0 \hfill \\ ax + by - rx - {a^2} - {b^2} + {r^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , η δεύτερη εξ αιτίας της πρώτης δίδει :

$- rx - {a^2} - {b^2} + {r^2} = 0$ και λόγω της (1)

$\boxed{x = \frac{{3r}}{4}}$ .

Τετμημένη του Τ

Τετμημένη του Τ

Re: Τετμημένη του Τ

Re: Τετμημένη του Τ

Re: Τετμημένη του Τ

Μέλη σε σύνδεση