Μηδενική ορίζουσα
Συντονιστής: matha
Μηδενική ορίζουσα
Γειά σας!
Έχουμε 3 ευθείες με εξισώσεις , . Θέλω να δείξω ότι ανν οι ευθείες είναι ανα ζεύγος παράλληλα ή έχουν ένα κοινό σημείο.
Έχουμε ότι ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες, αυτό συνεπάγεται ότι οι ευθείες είναι γραμμικά εξαρτημένες. Αυτό σημαίνει ότι κάποιες ευθείες είναι παράλληλες, ή όχι;
Χρησιμοποιούμε αυτό για να δείξουμε το ζητούμενο;
Έχουμε 3 ευθείες με εξισώσεις , . Θέλω να δείξω ότι ανν οι ευθείες είναι ανα ζεύγος παράλληλα ή έχουν ένα κοινό σημείο.
Έχουμε ότι ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες, αυτό συνεπάγεται ότι οι ευθείες είναι γραμμικά εξαρτημένες. Αυτό σημαίνει ότι κάποιες ευθείες είναι παράλληλες, ή όχι;
Χρησιμοποιούμε αυτό για να δείξουμε το ζητούμενο;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηδενική ορίζουσα
Δεν ισχύει αυτό. Επίσης ο συλλογισμός σου από εκεί και κάτω είναι προβληματικός.Mathletic έγραψε: Έχουμε ότι ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή.
Θα δώσω υπόδειξη για την μία κατεύθυνση: Έστω ότι οι ευθείες έχουν κοινό σημείο. Τι σημαίνει αυτό για το σύστημα που πρέπει να λύσεις για να βρεις το σημείο;
Καλό είναι να ξαναδείς το σχόλιο/συμβουλή που σου είχα γράψει στο πρώτο μου ποστ εδώ αλλά και αλλού.
Re: Μηδενική ορίζουσα
Έχουμε τις ευθείες .
Το σημείο τομής είναι στη μορφή .
Σε μορφή πίνακα έχουμε
Αν τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;
Το σημείο τομής είναι στη μορφή .
Σε μορφή πίνακα έχουμε
Αν τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Δεν είναι αυτός φυσικός συλλογισμός. π.χ. τι νόημα έχει το ότι το σημείο τομής ευθειών στο επίπεδο έχει συντεταγμένες ; Αλλά υπάρχουν και λάθη. Το σύστημα που θεωρείς δεν έχει την τυπική γραμμική μορφή. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αντίστοιχη θεωρία σε ένα τέτοιο "σύστημα" !Mathletic έγραψε:Έχουμε τις ευθείες .
Το σημείο τομής είναι στη μορφή .
Σε μορφή πίνακα έχουμε
Αν τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;
Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το
.
Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα
.
Επίσης ο πίνακας έχει . (Γιατί; )
Ποιο είναι το επόμενο βήμα;
Υ.Γ. Όπως έχει κάνει επανειλημμένα ο κ. Λάμπρου, σε προτρέπω και εγώ να επιστρέψεις στην θεωρία (γραμμικών συστημάτων) και να κατανοήσεις τις έννοιες.
Re: Μηδενική ορίζουσα
Αφού μια στηλη του πίνακα είναι πολλαπλασισμένη με -1, έχουμε τα εξής:grigkost έγραψε: Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το
.
Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα
.
Επίσης ο πίνακας έχει . (Γιατί; )
σωστά;
Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Πρέπει τα παραπάνω να συνδεθούν με την ορίζουσα .Mathletic έγραψε:...Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;
Ξεκίνησε με την υπόθεση: ευθείες παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο και προσπάθησε να συμπεράνεις ότι .
Και το αντίστροφο: έστω ότι , τότε αναγκαστικά οι ευθείες είναι παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο.
ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Υ.Γ. Για το κοκκινισμένο: όχι ακριβώς!
Re: Μηδενική ορίζουσα
Για την κατεύθυνση :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι και , σωστά;
Τότε έχουμε το εξής:
Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι και , σωστά;
Τότε έχουμε το εξής:
Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Σωστό. Προσπάθησε τώρα και τις άλλες περιπτώσεις...Mathletic έγραψε:Για την κατεύθυνση :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι και , σωστά;
Τότε έχουμε το εξής:
Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.
Re: Μηδενική ορίζουσα
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες τέμνονται σε ενα σημείο.
Έστω οτι οι 2 ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Τότε και η τρίτη ευθεία θα πρέπει να περνάει από το σημείο αυτό.
Έχουμε τα εξής
Μήπως πρέπει να βρούμε τα συναρτήσει των ;
Έχουμε τα εξής:
Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε:
Τώρα υπολογίζουμε το :
Το σημείο πρέπει να ικανοποιεί την τρίτη εξίσωση:
Έτσι δείξαμε και τις δύο περιπτώσεις για την κατεύθυνση .
Για την κατεύθυνση τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;
Έστω οτι οι 2 ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Τότε και η τρίτη ευθεία θα πρέπει να περνάει από το σημείο αυτό.
Έχουμε τα εξής
Μήπως πρέπει να βρούμε τα συναρτήσει των ;
Έχουμε τα εξής:
Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε:
Τώρα υπολογίζουμε το :
Το σημείο πρέπει να ικανοποιεί την τρίτη εξίσωση:
Έτσι δείξαμε και τις δύο περιπτώσεις για την κατεύθυνση .
Για την κατεύθυνση τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με ;Mathletic έγραψε:...Για την κατεύθυνση τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;
Υ.Γ. Τα αμέσως παραπάνω είναι σωστά.
Re: Μηδενική ορίζουσα
grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με ;
Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)Mathletic έγραψε:Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με ;
Re: Μηδενική ορίζουσα
grigkost έγραψε: Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)
Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Mathletic έγραψε:grigkost έγραψε: Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)
Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
Re: Μηδενική ορίζουσα
Αν ένας συντελεστής ειναι μηδέν, π.χ. τότε , αυτό σημαίνει ότι το κάθετο διάνυσμα της πρώτης ευθείας είναι πολλαπλάσιο του άλλου, άρα είναι παράλληλα και άρα ει ευθείες είναι παράλληλες, σωστά;grigkost έγραψε:
Αλλά αυτό ισχύει μόνο για 2 ευθείες, ή όχι;
Θα θεωρήσουμε και την περίπτωση ότι ;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).grigkost έγραψε:Mathletic έγραψε:..Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
Τι είναι τα και για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;
Re: Μηδενική ορίζουσα
grigkost έγραψε:Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).grigkost έγραψε:Mathletic έγραψε:..Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
Τι είναι τα και για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;
Για το σύστημα τα και είναι οι άγνωστοι.
Έχουμε ότι .
Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
Re: Μηδενική ορίζουσα
grigkost έγραψε:Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Όχι Mathletic δεν σημαίνει αυτό...Mathletic έγραψε:grigkost έγραψε:Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;
Αλλά δεν έχει νόημα η όποια βοήθεια, αν προηγουμένως δεν έχεις μελετήσει και δεν έχεις προσπαθήσει μόνος σου.
Όπως άλλωστε σε παρότρυνε πολλάκις και ο κ . Λάμπρου.
Υ.Γ. Βέβαια η άσκηση (σχεδόν) λύθηκε, αλλά δεν είναι αυτό το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες