Μια η άπειρες ρίζες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μια η άπειρες ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 08, 2017 9:30 am

Εστω q:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} περιοδική με περίοδο T

Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση

y''(t)+q(t)y(t)=0(1)

Αν η (1) δεν έχει μη μηδενική λύση με άπειρες ρίζες

τότε δεν έχει μη μηδενική λύση με περισσότερες από μία ρίζες



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια η άπειρες ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 17, 2017 8:57 am

Επαναφορά.
Υπόδειξη.
1)Αν y(t) λύση ,τότε και η y(t+nT) λύση με n\in \mathbb{N}
2)Ποιο είναι βασικό εργαλείο στις γραμμικές δεύτερης τάξης;


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 556
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Μια η άπειρες ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Ιουν 25, 2017 7:10 pm

Θὰ χρησιμοποιήσουμε τὸ κἀτωθι Λῆμμα: (Διάσημη Ἄσκηση)

Λῆμμα. Ἄν \varphi, \psi γραμμικῶς ἀνεξάρτητες λύσεις τῆς x''+px=0, τότε μεταξὺ δύο διαδοχικῶν ριζῶν τῆς \varphi, ὑπάρχει μοναδικὴ ρίζα τῆς \psi.

Ἀπόδειξη τοῦ Λήμματος. Μεταξὺ δύο διαδοχικῶν ριζῶν \tau_1,\tau_2 τῆς \varphi, ἡ \varphi διατηρεῖ πρόσημο καὶ συνεπῶς
\displaystyle{ 
\varphi'(\tau_1)\varphi'(\tau_2)<0. 
}
Ἐπίσης, ἡ βρονσκιανὴ w(t) τῶν \varphi, \psi διατηρεῖ πρόσημο, καὶ ἄρα
\displaystyle{ 
0<w(\tau_1)w(\tau_2)=\psi(\tau_1)\psi(\tau_2)\varphi'(\tau_1)\varphi'(\tau_2), 
}
ὁπότε
\displaystyle{ 
\psi(\tau_1)\psi(\tau_2)<0. 
}
Συνεπῶς, ἡ \psi ἔχει ρίζα στὸ (\tau_1,\tau_2). Ἡ μοναδικότης ὀφείλεται στὸ ὅτι οἱ ρίζες \tau_1,\tau_2 τῆς \psi
εἶναι διαδοχικές.


Ἔστω τώρα y(t) λύση μὲ δύο τουλάχιστον ρίζες. Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητος, ἔστω y(0)=y(a)=0, ὄπου a>0, καὶ ἔστω z(t)
ἄλλη λύση τῆς ἰδίας ἐξισώσεως, γραμμικῶς ἀνεξάρτητη πρὸς τὴν y.

Ὅμως, διὰ κάθε k\in\mathbb Z, ἡ y(t+kT) εἶναι ἐπίσης λύση τῆς ἰδίας ἐξισώσεως. Ὑποχρεωτικῶς θὰ ἰσχύει τουλάχιστον ἕνα ἐκ τῶν κάτωθι δύο:

α. Οἱ z(t), y(t+kT) εἶναι γραμμικῶς ἀνεξάρτητες γιὰ ἄπειρα τὸ πλῆθος k.
β. Οἱ z(t), y(t+kT) εἶναι γραμμικῶς ἐξαρτημένες γιὰ ἄπειρα τὸ πλῆθος k.

Ἂν ἰσχύει τὸ α. τότε ἡ z, χάριν τοῦ Λήμματος, θὰ ἔχει ρίζες σὲ ἄπειρα τὸ πλῆθος διαστήματα τῆς μορφῆς (kT,kT+a), καὶ συνεπῶς θὰ ἔχει ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες, καὶ ἐφαρμόζοντας ἐκ νέου τὸ Λῆμμα, καὶ ἡ y(t) θὰ ἔχει ἐπίσης ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες.

Ἂν ἰσχύει τὸ β. τότε ἡ z θὰ ἔχει ρίζες σὲ ἄπειρες τῆς μορφῆς kT,kT+a, καὶ συνεπῶς, καὶ ἡ y(t) θὰ ἔχει ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια η άπειρες ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 26, 2017 2:00 am

Πολύ ωραία.
Δίνω μια λύση που είναι σχεδόν ίδια με του Γιώργου αλλιώς διατυπωμένη.

Εστω y λύση με πεπερασμένο πλήθος ριζών.

Θα δείξουμε ότι έχει το πολύ μία.

Υποθέτουμε ότι η μικρότερη είναι το 0

Παίρνουμε k\in \mathbb{N} ώστε το kT να είναι μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη ρίζα.

Η h(t)=y(t+kT) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης και δεν έχει ρίζα στο [0,\infty )

Παίρνουμε την W(t)=y'(t)h(t)-y(t)h'(t)

Είναι W'(t)=y''(t)h(t)-y(t)h''(t)=0 (λόγω της διαφορικής εξίσωσης)

Αρα y'(t)h(t)-y(t)h'(t)=c

Επειδή η h δεν μηδενίζεται στο [0,\infty ) έχουμε

\dfrac{y'(t)h(t)-y(t)h'(t)}{h^{2}(t)}=\dfrac{c}{h^{2}(t)}

(\dfrac{y(t)}{h(t)})'=\dfrac{c}{h^{2}(t)}

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε

y(t)=h(t)\int_{0}^{t}\dfrac{c}{h^{2}(t)}dt

Από την τελευταία επειδή η y έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών είναι c\neq 0

Αρα έχει μοναδική ρίζα το 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες