Δύσκολο πρόβλημα!!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Δύσκολο πρόβλημα!!
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .
τελευταία επεξεργασία από WLOG σε Τρί Ιουν 13, 2017 11:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Έστω ο iοστός πρώτος αριθμός.
Έστω ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από τότε ο αριθμός
ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο .
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
Έστω ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από τότε ο αριθμός
ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο .
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Μάλλον κάπου κάνεις λάθος. Ορίζεις το χρησιμοποιώντας το και μετά ορίζεις το χρησιμοποιώντας τοΤροβαδούρος έγραψε:Έστω ο iοστός πρώτος αριθμός.
Έστω ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από τότε ο αριθμός
ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο .
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
Υπάρχει πρόβλημα με την εκφώνηση. Μάλλον πρέπει να λέει « ... ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης ... »WLOG έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Ναι έχετε δίκιο έκανα λάθος μετάφραση!!Demetres έγραψε:Μάλλον κάπου κάνεις λάθος. Ορίζεις το χρησιμοποιώντας το και μετά ορίζεις το χρησιμοποιώντας τοΤροβαδούρος έγραψε:Έστω ο iοστός πρώτος αριθμός.
Έστω ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από τότε ο αριθμός
ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο .
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
Υπάρχει πρόβλημα με την εκφώνηση. Μάλλον πρέπει να λέει « ... ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης ... »WLOG έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
WLOG έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Ας δείξουμε πρώτα το ευκολότερο:
Υπάρχουν άπειροι ώστε ο να έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο από .
Υπάρχουν άπειροι ώστε ο να έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο από .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Έστω πρώτος. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει ώστε . Επιπλέον στο διάστημα υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοια . Το άθροισμά τους ισούται με οπότε μπορούμε να υποθέσουμε πως αυτά είναι τα και το για κάποιο .silouan έγραψε:Ας δείξουμε πρώτα το ευκολότερο:
Υπάρχουν άπειροι ώστε ο να έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο από .
Θέτουμε . Από την επιλογή του , ο διαιρεί τον . Επιπλέον, αφού τότε
Άρα το είναι πολλαπλάσιο του οπότε εκτός και αν το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο για αρκετά μικρό .
Τέλος έχουμε
Για να ολοκληρωθεί το ζητούμενο επικαλούμαστε το γεγονός ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής .
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Πολύ ωραία Δημήτρη!
Πρόκειται για το πρόβλημα 3 της ΙΜΟ 2008.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 21p1190546
Πρόκειται για το πρόβλημα 3 της ΙΜΟ 2008.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 21p1190546
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Μου φαίνεται εύκολο για πρόβλημα 3. Ιδίως για σχετικά πρόσφατη ολυμπιάδα.
Από την άλλη το αρχικό πρόβλημα φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Έχω μια ιδέα η οποία πρέπει να δουλεύει αλλά θέλει θεώρημα πρώτων αριθμών και μάλιστα με μη τετριμμένο τρόπο. Γνωρίζουμε αν το πρόβλημα έχει πιο στοιχειώδη λύση ή αν χρειάζονται τα βαρέα όπλα;
Από την άλλη το αρχικό πρόβλημα φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Έχω μια ιδέα η οποία πρέπει να δουλεύει αλλά θέλει θεώρημα πρώτων αριθμών και μάλιστα με μη τετριμμένο τρόπο. Γνωρίζουμε αν το πρόβλημα έχει πιο στοιχειώδη λύση ή αν χρειάζονται τα βαρέα όπλα;
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Μου φαίνεται ότι πρέπει να χρησιμοποιηθούν βαριά όπλαDemetres έγραψε:Μου φαίνεται εύκολο για πρόβλημα 3. Ιδίως για σχετικά πρόσφατη ολυμπιάδα.
Από την άλλη το αρχικό πρόβλημα φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Έχω μια ιδέα η οποία πρέπει να δουλεύει αλλά θέλει θεώρημα πρώτων αριθμών και μάλιστα με μη τετριμμένο τρόπο. Γνωρίζουμε αν το πρόβλημα έχει πιο στοιχειώδη λύση ή αν χρειάζονται τα βαρέα όπλα;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Μου ζητήθηκε να βάλω τη λύση στην οποία αναφερόμουν. Έπρεπε να το λύσω ξανά μιας και δεν θυμόμουν τη λύση μου. Δεν ξέρω καν αν είναι ίδια με αυτή που είχα βρει τότε ή όχι. Ίσως να είχα και κάτι πιο απλό, ίσως και όχι.
Θέτω .
Παρατηρώ ότι όπου είναι η μεγαλύτερη δύναμη του πρώτου η οποία διαιρεί το . Επομένως .
Έχουμε επίσης Παρατηρούμε τα εξής:
για αφού αν και τότε .
αφού και επιπλέον περιττός.
για .
Επιπλέον, αν με τότε υπάρχουν δύο υπόλοιπα ώστε . Από το Λήμμα Hensel ( τότε για ) για κάθε υπάρχουν δύο υπόλοιπα ώστε . Άρα για αυτά τα έχουμε
όπου το είναι μέγιστο ώστε .
Παίρνουμε ότι
Έχουμε , άρα .
Έχουμε επίσης
όπου το πλήθος των πρώτων της μορφής που είναι μικρότεροι ή ίσοι του . Στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι οπότε η ανισότητα ισχύει άνετα για αρκετά μεγάλα
Επιπλέον, αν βλέπουμε ότι
Άρα
όπου όπου το άθροισμα είναι σε όλους τους πρώτους της μορφής .
Από το Θεώρημα πρώτων αριθμών σε αριθμητικές προόδους έχουμε .
Καταλήγουμε (με αρκετή χαλαρότητα) στο
Όμως όπου το πλήθος των πρώτων για τους οποίους . Δηλαδή αυτούς για τους οποίους υπάρχει με .
Έχουμε που δίνει .
Για αρκετά μεγάλο θα έχουμε τουλάχιστον τόσους πρώτους. Μέχρι όμως το έχουμε το πολύ πρώτους αριθμούς.
Άρα θα έχουμε τουλάχιστον πρώτους μεγαλύτερους του ώστε κάθε ένας να διαιρεί το για κάποιο .
Το ζητούμενο έπεται.
Θέτω .
Παρατηρώ ότι όπου είναι η μεγαλύτερη δύναμη του πρώτου η οποία διαιρεί το . Επομένως .
Έχουμε επίσης Παρατηρούμε τα εξής:
για αφού αν και τότε .
αφού και επιπλέον περιττός.
για .
Επιπλέον, αν με τότε υπάρχουν δύο υπόλοιπα ώστε . Από το Λήμμα Hensel ( τότε για ) για κάθε υπάρχουν δύο υπόλοιπα ώστε . Άρα για αυτά τα έχουμε
όπου το είναι μέγιστο ώστε .
Παίρνουμε ότι
Έχουμε , άρα .
Έχουμε επίσης
όπου το πλήθος των πρώτων της μορφής που είναι μικρότεροι ή ίσοι του . Στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι οπότε η ανισότητα ισχύει άνετα για αρκετά μεγάλα
Επιπλέον, αν βλέπουμε ότι
Άρα
όπου όπου το άθροισμα είναι σε όλους τους πρώτους της μορφής .
Από το Θεώρημα πρώτων αριθμών σε αριθμητικές προόδους έχουμε .
Καταλήγουμε (με αρκετή χαλαρότητα) στο
Όμως όπου το πλήθος των πρώτων για τους οποίους . Δηλαδή αυτούς για τους οποίους υπάρχει με .
Έχουμε που δίνει .
Για αρκετά μεγάλο θα έχουμε τουλάχιστον τόσους πρώτους. Μέχρι όμως το έχουμε το πολύ πρώτους αριθμούς.
Άρα θα έχουμε τουλάχιστον πρώτους μεγαλύτερους του ώστε κάθε ένας να διαιρεί το για κάποιο .
Το ζητούμενο έπεται.
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός έχει έναν πρώτο δειερετη μεγαλύτερο τού.
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Η απόδειξη αφήνεται λόγω απλότητας ως άσκηση για τον αναγνώστη. ( https://arxiv.org/abs/1908.08816 )
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες