Με αφορμή το Γ1
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1739
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με αφορμή το Γ1
Αν η είναι άρτια και κυρτή και τότε από κάθε σημείο με άγονται προς τη
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η στο
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η στο
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Σάβ Ιουν 10, 2017 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 10, 2017 9:54 pm
Re: Με αφορμή το Γ1
1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην
2) Από κάθε σημείο , με , άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της .
2) Από κάθε σημείο , με , άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της .
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Ιουν 10, 2017 10:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1739
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Με αφορμή το Γ1
Γιώργο καλωσόρισες στοΓιώργος Κοντογιάννης έγραψε:1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην
2) Από κάθε σημείο , με , άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της .
Σωστά όλα αυτά (με τη σχετική απόδειξη )
Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: Με αφορμή το Γ1
Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη ακριβώς δύο εφαπτόμενεςexdx έγραψε:Αν η είναι άρτια και κυρτή και τότε από κάθε σημείο με άγονται προς τη
είτε καμία είτε ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Με αφορμή το Γ1
Αν και νομίζω ότι μέσα στα πολλά που έχουν ανέβει στο κάπου θα υπάρχει.exdx έγραψε:Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο
Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο και δύο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό με την δεύτερη παράγωγο παντού θετική.
Έστω ένα σημείο , τέτοιο ώστε να βρίσκεται
α) Πάνω από τις εφαπτομένες της στα σημεία της και .
β) Κάτω από την
Τότε από το άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες προς την .
Απόδειξη
Η τυχούσα εφαπτομένη της έχει εξίσωση , . Η υπόθεση για την θέση τoυ μας δίνει ότι
Το πλήθος των εφαπτομένων που διέρχονται από το καθορίζεται, κατ΄αρχήν από το πλήθος των λύσεων (ως προς ) της εξίσωσης
δηλαδή των ριζών της συνεχούς
Είναι , , . Από το θεώρημα του έχουμε ότι η έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε κάθε ένα από τα . H παράγωγος της έχει μοναδική ρίζα το επομένως από το θεώρημα του Rolle δεν έχει άλλη ρίζα στα .
Συνεπώς η έχει ακριβώς δύο ρίζες . Λόγω της μονοτονίας της παραγώγου θα είναι άρα οι αντίστοιχες εφαπτομένες θα είναι διαφορετικές.
Άρα υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες.
Μαυρογιάννης
Edit
Δεν είχα δει όταν ξεκίνησα να γράφω, με πολλές διακοπές, την παρακάτω
Απολογούμαι. Το αφήνω για τον κόπο.mikemoke έγραψε: Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη ακριβώς δύο εφαπτόμενες
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Με αφορμή το Γ1
Οχι δεν ισχύει.exdx έγραψε:Αν η είναι άρτια και κυρτή και τότε από κάθε σημείο με άγονται προς τη
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η στο
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
Πάρε για
Για
Ικανοποιεί τις προυποθέσεις και για δεν ισχύει το συμπέρασμα.
Η ιδέα είναι απλή.
Στο έχει ασύμπτωτη την οπότε εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη για τα θετικά.
(μια γραφική παράσταση το δείχνει)
Στα αρνητικά λειτουργεί η συμμετρία.
Σίγουρα μπορούμε να βάλουμε επιπλέον συνθήκες ώστε να ισχύει.
Από ότι βλέπω ο Νίκος έχει κάνει το πρόβλημα για κλειστό διάστημα.
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Με αφορμή το Γ1
...στη γενίκευση του Γιώργη... ένας δρόμος..exdx έγραψε:Αν η είναι άρτια και κυρτή και τότε από κάθε σημείο με άγονται προς τη
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η στο
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
Αν για κάποιο οι είναι οι εφαπτόμενες στα
επειδή η είναι άρτια η είναι περιττή και οι εφαπτόμενες γίνονται
ή
που προφανώς τέμνονται πάνω στο στο σημείο
Τώρα το γιατί στο διάστημα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει
ώστε και επειδή και γνήσια αύξουσα αφού η κυρτή ,
ισχύει ότι
Αν τώρα υπάρχει και άλλο σημείο που η εφαπτόμενη σε αυτό
διέρχεται πάλι από το τότε θα ισχύει
(1) που είναι άτοπο γιατί στο διάστημα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.
υπάρχει ώστε και επειδή και
γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι
λόγω της (1)
που είναι άτοπο, και ανάλογα αν
Τώρα για το ότι ο αριθμός είναι οποιοσδήποτε αρνητικός… μπορεί να υπάρχει και άλλος δρόμος...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες