Με αφορμή το Γ1

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με αφορμή το Γ1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιουν 10, 2017 10:16 pm

Αν η \displaystyle{f} είναι άρτια και κυρτή και \displaystyle{f(0) = 0} τότε από κάθε σημείο \displaystyle{A(0,k)} με \displaystyle{k < 0} άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}}
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την \displaystyle{x = a} )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η \displaystyle{f} στο \displaystyle{[ - a,a]}
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Σάβ Ιουν 10, 2017 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Κοντογιάννης
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 10, 2017 9:54 pm

Re: Με αφορμή το Γ1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Κοντογιάννης » Σάβ Ιουν 10, 2017 10:48 pm

1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f(x) = - \sin x} έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}} τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}.}
2) Από κάθε σημείο \displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},a\right)}, με \displaystyle{a\in \left[-\frac{\pi}{2},-1\right)}, άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της f.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Ιουν 10, 2017 10:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με αφορμή το Γ1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιουν 10, 2017 11:19 pm

Γιώργος Κοντογιάννης έγραψε:1) Αν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f(x) = - \sin x} έχουν συμμετρικές τετμημένες ως προς την ευθεία \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}} τότε οι εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία τέμνονται στην \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}.}
2) Από κάθε σημείο \displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},a\right)}, με \displaystyle{a\in \left[-\frac{\pi}{2},-1\right)}, άγονται δύο εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της f.
Γιώργο καλωσόρισες στο :logo:

Σωστά όλα αυτά (με τη σχετική απόδειξη )
Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Με αφορμή το Γ1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Ιουν 10, 2017 11:22 pm

exdx έγραψε:Αν η \displaystyle{f} είναι άρτια και κυρτή και \displaystyle{f(0) = 0} τότε από κάθε σημείο \displaystyle{A(0,k)} με \displaystyle{k < 0} άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}}
είτε καμία είτε ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την \displaystyle{x = a}
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .
Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την f και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}} ακριβώς δύο εφαπτόμενες


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4311
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Με αφορμή το Γ1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιουν 11, 2017 1:01 am

exdx έγραψε:Το Γ1 έχει λυθεί ποικιλοτρόπως
Ψάχνω κάτι γενικότερο
Αν και νομίζω ότι μέσα στα πολλά που έχουν ανέβει στο :logo: κάπου θα υπάρχει.
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο \left[ \alpha ,\beta \right]και δύο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό με την δεύτερη παράγωγο παντού θετική.
Έστω ένα σημείο M(p,q), \alpha <p<\beta τέτοιο ώστε να βρίσκεται
α) Πάνω από τις εφαπτομένες της C_f στα σημεία της A\left( \alpha ,f\left( \alpha \right) \right) και B\left( \beta ,f\left( \beta \right) \right).
β) Κάτω από την C_f
Τότε από το M άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες προς την C_f.

Απόδειξη
Η τυχούσα εφαπτομένη της C_f έχει εξίσωση y=f^{\prime }\left( t\right) \left( x-t\right) +f\left( t\right), t\in \left[ \alpha ,\beta \right]. Η υπόθεση για την θέση τoυ M μας δίνει ότι
q>f^{\prime }\left( \alpha \right) \left( p-\alpha \right) +f\left( \alpha \right)
q>f^{\prime }\left( \beta \right) \left( p-\beta \right) +f\left( \beta \right)
q<f(p)
Το πλήθος των εφαπτομένων που διέρχονται από το M καθορίζεται, κατ΄αρχήν από το πλήθος των λύσεων (ως προς t) της εξίσωσης
q=f^{\prime }\left( t\right) \left( p-t\right) +f\left( t\right)
δηλαδή των ριζών της συνεχούς
r\left( t\right) =f^{\prime }\left( t\right) \left( p-t\right) +f\left( t\right) -q
Είναι r\left( \alpha \right)>0, r\left( \beta \right)>0, r(p)>0. Από το θεώρημα του Bolzano έχουμε ότι η r έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε κάθε ένα από τα (\alpha ,p),(p,\beta ). H παράγωγος της r^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime \prime }\left( t\right) \left( p-t\right) -f^{\prime }\left( t\right) +f^{\prime }\left( t\right) =f^{\prime \prime }\left( t\right) \left( p-t\right) έχει μοναδική ρίζα το p επομένως από το θεώρημα του Rolle δεν έχει άλλη ρίζα στα (\alpha ,p),(p,\beta ).
Συνεπώς η r έχει ακριβώς δύο ρίζες t_{1}<t_{2}. Λόγω της μονοτονίας της παραγώγου θα είναι f^{\prime }\left( t_{1}\right) <f^{\prime }\left( t_{2}\right) άρα οι αντίστοιχες εφαπτομένες θα είναι διαφορετικές.
Άρα υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες.
Μαυρογιάννης
Edit
Δεν είχα δει όταν ξεκίνησα να γράφω, με πολλές διακοπές, την παρακάτω
mikemoke έγραψε: Θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε οτι για κάθε σημείου του χώρου κάτω από την f και πάνω από τις 2 ακρέες εφαπτομένες (αν υπάρχουν άκρα) άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}} ακριβώς δύο εφαπτόμενες
Απολογούμαι. Το αφήνω για τον κόπο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με αφορμή το Γ1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 11, 2017 1:17 am

exdx έγραψε:Αν η \displaystyle{f} είναι άρτια και κυρτή και \displaystyle{f(0) = 0} τότε από κάθε σημείο \displaystyle{A(0,k)} με \displaystyle{k < 0} άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}}
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την \displaystyle{x = a} )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η \displaystyle{f} στο \displaystyle{[ - a,a]}
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
Οχι δεν ισχύει.

Πάρε f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1} για x\geq 0

Για x\leq 0 f(x)=f(-x)

Ικανοποιεί τις προυποθέσεις και για k< -1 δεν ισχύει το συμπέρασμα.

Η ιδέα είναι απλή.

Στο +\infty έχει ασύμπτωτη την y=x-1 οπότε εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη για τα θετικά.

(μια γραφική παράσταση το δείχνει)

Στα αρνητικά λειτουργεί η συμμετρία.

Σίγουρα μπορούμε να βάλουμε επιπλέον συνθήκες ώστε να ισχύει.

Από ότι βλέπω ο Νίκος έχει κάνει το πρόβλημα για κλειστό διάστημα.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1547
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με αφορμή το Γ1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιουν 11, 2017 2:21 am

exdx έγραψε:Αν η \displaystyle{f} είναι άρτια και κυρτή και \displaystyle{f(0) = 0} τότε από κάθε σημείο \displaystyle{A(0,k)} με \displaystyle{k < 0} άγονται προς τη \displaystyle{{C_f}}
ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

ΥΓ1. Θα μπορούσαμε αντί άρτια να είχαμε κάποια με άξονα συμμετρίας την \displaystyle{x = a} )
ΥΓ2. Πιστεύω ότι τα λογάριασα σωστά . Αν όχι , εδώ είμαστε .

Edit : Έσβησα τη φράση : .. είτε καμία είτε... (αρχικά είχα κατα νού να ορίζεται η \displaystyle{f} στο \displaystyle{[ - a,a]}
Ευχαριστώ τον mikemoke (παρακάτω...)
...στη γενίκευση του Γιώργη... ένας δρόμος..

Αν για κάποιο \alpha >0 οι y-f(\alpha )={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(-\alpha )={f}'(-\alpha )(x+\alpha ) είναι οι εφαπτόμενες στα

A(\alpha ,\,f(a)),\,\,{A}'(-a,\,\,f(-a))επειδή η \displaystyle{f} είναι άρτια η {f}'είναι περιττή και οι εφαπτόμενες γίνονται

y-f(\alpha )={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(\alpha )=-{f}'(\alpha )(x+\alpha ) ή

y={f}'(\alpha )x+f(a)-\alpha {f}'(a),\,\,\,y=-{f}'(\alpha )x+f(a)-\alpha {f}'(a)

που προφανώς τέμνονται πάνω στο {y}'y στο σημείο (0,\,\,f(a)-\alpha {f}'(a))

Τώρα το f(a)-\alpha {f}'(a)<0,\,\,\,\alpha >0 γιατί στο διάστημα [0,\,\,a] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει

\xi \in (0,\,a) ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(a)-f(0)}{a}=\frac{f(a)}{a} και επειδή \xi <a και {f}' γνήσια αύξουσα αφού η f κυρτή ,

ισχύει ότι {f}'(\xi )<{f}'(a)\Leftrightarrow \frac{f(a)}{a}<{f}'(a)\Leftrightarrow f(a)<a{f}'(a)

Αν τώρα υπάρχει και άλλο σημείο B(\beta ,\,f(\beta )),\,\,a<\beta που η εφαπτόμενη σε αυτό

y={f}'(\beta )x+f(\beta )-\beta {f}'(\beta )διέρχεται πάλι από το (0,\,\,f(a)-\alpha {f}'(a)) τότε θα ισχύει

f(a)-\alpha {f}'(a)=f(\beta )-\beta {f}'(\beta ) (1) που είναι άτοπο γιατί στο διάστημα [a,\,\,\beta ] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.

υπάρχει \xi \in (a,\,\beta ) ώστε {f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -a} και επειδή a<\xi και {f}'

γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι {f}'(\xi )<{f}'(\beta )\Leftrightarrow \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -a}<{f}'(\beta )

f(\beta )-f(a)<\beta {f}'(\beta )-\alpha {f}'(\beta )\Leftrightarrow f(\beta )-\beta {f}'(\beta )<f(a)-\alpha {f}'(\beta ) λόγω της (1)

f(\alpha )-\alpha {f}'(\alpha )<f(a)-\alpha {f}'(\beta )\Leftrightarrow -\alpha {f}'(\alpha )<-\alpha {f}'(\beta )\overset{a>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,{f}'(\alpha )>{f}'(\beta ) που είναι άτοπο, και ανάλογα αν -a<\beta <a,\,\,\beta <a

Τώρα για το ότι ο αριθμός f(a)-\alpha {f}'(a)<0,\,\,\,\alpha >0 είναι οποιοσδήποτε αρνητικός… :wallbash: μπορεί να υπάρχει και άλλος δρόμος...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες