Βρείτε τις συναρτήσεις!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Βρείτε τις συναρτήσεις!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Ας κάνω μία αρχή.
Αν για κάποιο ισχύει ότι: τότε:
άτοπο. Οπότε .
Θεωρούμε την συνάρτηση: όπου
όπου είναι το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών.
Οπότε έχουμε:.
Η συνέχεια (αν υπάρξει) αργότερα.
Αν για κάποιο ισχύει ότι: τότε:
άτοπο. Οπότε .
Θεωρούμε την συνάρτηση: όπου
όπου είναι το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών.
Οπότε έχουμε:.
Η συνέχεια (αν υπάρξει) αργότερα.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Υποθέτουμε πως υπάρχει θετικός πραγματικός τέτοιος ώστε: (1)
Από την παραπάνω συναρτησιακή σχέση έχουμε πως: για κάθε θετικούς πραγματικούς (2).
Η (1) γράφεται ισοδύναμα: .
Βάζοντας στην (2) και προκύπτει ότι: . Όμως αυτό γίνεται μόνο
αν λόγω της αρχικής συναρτησιακής.
Αν δεν υπάρχει πραγματικός τότε για κάθε θετικό πραγματικό .
Αύριο θα προσπαθήσω να την προχωρήσω διότι με κούρασε αρκετά.
Από την παραπάνω συναρτησιακή σχέση έχουμε πως: για κάθε θετικούς πραγματικούς (2).
Η (1) γράφεται ισοδύναμα: .
Βάζοντας στην (2) και προκύπτει ότι: . Όμως αυτό γίνεται μόνο
αν λόγω της αρχικής συναρτησιακής.
Αν δεν υπάρχει πραγματικός τότε για κάθε θετικό πραγματικό .
Αύριο θα προσπαθήσω να την προχωρήσω διότι με κούρασε αρκετά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Έστω , τότε οπότε .
Το αριστερό μέλος, λόγω της γίνεται: , οπότε
.
Αν τώρα θέσω όπου το παίρνω (1)
Αν τέλος στην αρχική θέσω όπου το παίρνω:
(2)
Εξισώνοντας τις (1) και (2) παίρνω: και για το παίρνουμε:
.
Αυτό σημαίνει ότι .
Έστω . Τότε υπάρχουν ώστε και , οπότε .
Από την άλλη η λέει ότι , άρα , άρα .
Έπεται ότι είναι η μοναδική λύση.
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Έστω , τότε οπότε .
Το αριστερό μέλος, λόγω της γίνεται: , οπότε
.
Αν τώρα θέσω όπου το παίρνω (1)
Αν τέλος στην αρχική θέσω όπου το παίρνω:
(2)
Εξισώνοντας τις (1) και (2) παίρνω: και για το παίρνουμε:
.
Αυτό σημαίνει ότι .
Έστω . Τότε υπάρχουν ώστε και , οπότε .
Από την άλλη η λέει ότι , άρα , άρα .
Έπεται ότι είναι η μοναδική λύση.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Σιλουανέ, η λύση σου μού φαίνεται μια χαρά!silouan έγραψε:Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει;
Θανάση ποια είναι η λύση σου;
Η λύση μου:
Η δοθείσα γράφεται για κάθε
Έστω Γράφουμε και
Από την αρχική, για και έχουμε για όλα τα μεγάλα
Θέτοντας στην αρχική έχουμε τελικά οπότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο
Άλλη μια λύση υπάρχει εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1320230
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Χμμμ... Τελικά είχε μείνει ένα απλό βήμα στην λύση μου... Ωραίες και οι άλλες λύσεις!
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης