Σειρά με coth
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Σειρά με coth
Δείξατε ότι:
(Cornel Ioan Valean)
(Cornel Ioan Valean)
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σειρά με coth
Χρησιμοποιούμε τα:
1.
2. (σειρά Laurent γύρω από το )
3. Το γνωστό λήμμα ότι οι συναρτήσεις , ορισμένες στο μιγαδικό επίπεδο στα τετράγωνα πλευράς με κέντρο το και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες είναι ομοιόμορφα φραγμένες. Προφανώς, λόγω περιστροφικής συμμετρίας, ισχύει το ίδιο και για τις . Έστω το φράγμα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία έχει απλό πόλο σε κάθε σημείο και με υπόλοιπο .
Η έχει επίσης πόλο τάξης στο με υπόλοιπο (προκύπτει με χρήση της σειράς Laurent). Έτσι, με χρήση του θεωρήματος Cauchy:
αλλά
Οπότε, τελικά
1.
2. (σειρά Laurent γύρω από το )
3. Το γνωστό λήμμα ότι οι συναρτήσεις , ορισμένες στο μιγαδικό επίπεδο στα τετράγωνα πλευράς με κέντρο το και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες είναι ομοιόμορφα φραγμένες. Προφανώς, λόγω περιστροφικής συμμετρίας, ισχύει το ίδιο και για τις . Έστω το φράγμα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία έχει απλό πόλο σε κάθε σημείο και με υπόλοιπο .
Η έχει επίσης πόλο τάξης στο με υπόλοιπο (προκύπτει με χρήση της σειράς Laurent). Έτσι, με χρήση του θεωρήματος Cauchy:
αλλά
Οπότε, τελικά
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με coth
Α... Δημήτρη μπράβο.. Προσωπικά δε θα τολμούσα μιγαδική ανάλυση εδώ , ίσως , επειδή δεν έχω καθόλου εμπιστοσύνη στους υπολογισμούς μου αν και ο πυρήνας που πρέπει να επιλεχθεί είναι υπόθεση εύκολη. Η δική μου προσέγγιση είναι με Fourier.
Συνοπτικά, έχω κάνει τα εξής. Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Fourier
οπότε έχουμε
Μένει βέβαια ο υπολογισμός του διπλού αθροίσματος Euler αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.
Συνοπτικά, έχω κάνει τα εξής. Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Fourier
οπότε έχουμε
Μένει βέβαια ο υπολογισμός του διπλού αθροίσματος Euler αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με coth
Thank you pprime for filling in the computation of the double series. Your solution is the same as mine.pprime έγραψε:
Μετάφραση: Ευχαριστώ pprime που συμπλήρωσες τον υπολογισμό της διπλής σειράς. Η λύση σου είναι ίδια με τη δική μου.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες