Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9220
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 15, 2017 6:25 pm

Μήκος πλευράς τετραπλεύρου.png
Μήκος πλευράς τετραπλεύρου.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές
Στο σχήμα, τα τρίγωνα AMD, MBC είναι ισόπλευρα, AB=8 και (ABCD)=\dfrac{51\sqrt 3}{4}.

Να βρείτε το μήκος της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD.

Γεωμετρία Β...........Μέχρι 16/5/2017



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 15, 2017 6:50 pm

george visvikis έγραψε:
Μήκος πλευράς τετραπλεύρου.png
Στο σχήμα, τα τρίγωνα AMD, MBC είναι ισόπλευρα, AB=8 και (ABCD)=\dfrac{51\sqrt 3}{4}.

Να βρείτε το μήκος της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD.

Γεωμετρία Β...........Μέχρι 16/5/2017
Καλησπέρα Γιώργο.

Έστω AD=DM=AM=a, \,\, CM=MB=BC=b.

Προφανώς, \widehat{ADM}=\widehat{DMC}=\widehat{CMB}=60^\circ.

Ο Ν.Συνημιτόνων στο τρίγωνο \vartriangle CDM δίνει CD^2=a^2+b^2-ab (1).

Είναι (ADM)=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} (2), (CMB)=\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4} (3) και επίσης (CDM)=\dfrac{DM \cdot CM \sin 60^\circ}{2}=\dfrac{ab\sqrt{3}}{4} \Rightarrow (DCM)=\dfrac{ab\sqrt{3}}{4} (4).

Από τις (2), (3), (4) έχουμε \dfrac{51\sqrt{3}}{4}=(ADM)+(CDM)+(CMB)=\dfrac{(a^2+b^2+ab)\sqrt{3}}{4}, οπότε a^2+b^2+ab=51 (5).

Από εκφώνηση, a+b=AM+MB=AB=8, οπότε a+b=8 (6).

Οι (5), (6) δίνουν : 51=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=64-ab, οπότε ab=13 (7).

Συνδυάζοντας τις (6), (7) και την (1) έχουμε CD^2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=25 , οπότε \boxed{CD=5}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7148
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 15, 2017 11:42 pm

Έστω S το σημείο τομής των ευθειών AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC. Το \vartriangle SAB είναι προφανώς

ισόπλευρο εμβαδού (SAB) = \dfrac{{{8^2}\sqrt 3 }}{4} = 16\sqrt 3 και αφού το SDMC είναι

παραλληλόγραμμο θα είναι (MDC) = (SDC) = \dfrac{{64\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{51\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}
Μήκος πλευράς τετραπλεύρου.png
Μήκος πλευράς τετραπλεύρου.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Μετά απ’ αυτά αν θέσω MD = x \Rightarrow MC = 8 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = u θα έχουμε :

(MDC) = \dfrac{1}{2}MD \cdot MC \cdot \sin 60^\circ  \Rightarrow 13 = x(8 - x) \Leftrightarrow \boxed{{x^2} - 8x + 13 = 0} με ρίζες έστω

{X_1}\,\,,{X_2} για τις οποίες {X_1} + {X_2} = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{X_1} \cdot {X_2} = 13, (Τύποι Vieta). Οπότε:

{u^2} = X_1^2 + X_2^2 - 2{X_1}{X_2}\cos 60^\circ δηλαδή {u^2} = {({X_1} + {X_2})^2} - 3{X_1}{X_2} = 64 - 39 = 25

Άρα \boxed{u = 5}.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3271
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 16, 2017 12:16 am

george visvikis έγραψε: Στο σχήμα, τα τρίγωνα AMD, MBC είναι ισόπλευρα, AB=8 και (ABCD)=\dfrac{51\sqrt 3}{4}.

Να βρείτε το μήκος της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD.

Γεωμετρία Β...........Μέχρι 16/5/2017
Ίδια σκέψη με το φίλο Νίκο...
Μήκος-πλευράς-τετραπλεύρου.png
Μήκος-πλευράς-τετραπλεύρου.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Κατασκευάζω το ισόπλευρο \triangleleft ABE με εμβαδόν 16\sqrt 3, οπότε (CDM) = (CDE) = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}

Από \dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}\mathop  = \limits^{(CDM)} \dfrac{1}{2}x(8 - x)\sin {60^ \circ } \Leftrightarrow x(8 - x) = 13\,\,\,(1) και από νόμο συνημιτόνων στο \triangleleft CDM:\,C{D^2} = {x^2} + {(8 - x)^2} - x(8 - x)\Leftrightarrow C{D^2} =  - 3x(8 - x) + 64\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} C{D^2} = 25 \Leftrightarrow CD = 5


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες