Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Έστω κυρτό πολύεδρο . Ο Jaroslav γράφει έναν μη αρνητικό πραγματικό σε κάθε κορυφή του με τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών να ισούται με . Έπειτα, σε κάθε ακμή γράφει το γινόμενο των δύο αριθμών στα άκρα της.
Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των αριθμών στις ακμές είναι το πολύ .
Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των αριθμών στις ακμές είναι το πολύ .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Πως ξέφυγε αυτό.Οπως γράφει και ο Δημήτρης παρακάτω η λύση είναι ΛΑΘΟΣ
Εστω οι αριθμοί στις κορυφές.
Το ζητούμενο είναι μικρότερο η ίσο από
Επειδή και από C-S
έχουμε
Τελικά
αφου λόγω πολυέδρου
Η ισότητα ισχύει μόνο για τετράεδρο στο οποίο όλοι οι αριθμοί στις κορυφές είναι ίσοι.
Εστω οι αριθμοί στις κορυφές.
Το ζητούμενο είναι μικρότερο η ίσο από
Επειδή και από C-S
έχουμε
Τελικά
αφου λόγω πολυέδρου
Η ισότητα ισχύει μόνο για τετράεδρο στο οποίο όλοι οι αριθμοί στις κορυφές είναι ίσοι.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Ιούλ 07, 2017 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Σταύρο, η δεύτερη ανισότητα έχει λανθασμένη φορά. (Η τελική απάντηση είναι όντως .)ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τελικά
αφου λόγω πολυέδρου
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Τελικά πρόκειται για γνωστό πρόβλημα. Βάζω ένα hint-γενίκευση σε hide.
Μιχάλης Σαράντης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Ας γράψω μια πλήρη λύση με βάση την υπόδειξη του Μιχάλη. Δεν θα χρησιμοποιήσω απευθείας το αποτέλεσμα μιας και αποδυκνύεται εύκολα με Cauchy-Schwarz.
Το δίνει ένα επίπεδο γράφημα . Από το θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων, μπορώ να χωρίσω τις κορυφές του σε τέσσερα σύνολα ώστε να μην υπάρχουν ακμέςμεταξύ κορυφών του ιδίου συνόλου. Έστω τα αθροίσματα των αριθμών στις κορυφές εντός των συνόλων.
Τότε το άθροισμα των αριθμών στις ακμές είναι το πολύ
Η ισότητα ισχύει π.χ. αν το είναι ένα τετράεδρο και βάλουμε βάρος σε κάθε κορυφή.
Υπάρχει και λύση που αποφεύγει την χρήση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων.
Το δίνει ένα επίπεδο γράφημα . Από το θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων, μπορώ να χωρίσω τις κορυφές του σε τέσσερα σύνολα ώστε να μην υπάρχουν ακμέςμεταξύ κορυφών του ιδίου συνόλου. Έστω τα αθροίσματα των αριθμών στις κορυφές εντός των συνόλων.
Τότε το άθροισμα των αριθμών στις ακμές είναι το πολύ
Η ισότητα ισχύει π.χ. αν το είναι ένα τετράεδρο και βάλουμε βάρος σε κάθε κορυφή.
Υπάρχει και λύση που αποφεύγει την χρήση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες