Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Πρόβλημα 1
Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , ο οποίος διαιρεί τον για όλους τους πρώτους .
Πρόβλημα 2
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
(β)
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Οι κάθετες από τις κορυφές και προς τις απέναντι πλευρές και , αντίστοιχα, τέμνονται στο σημείο . Οι μεσοκάθετες των πλευρών του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Ονομάζουμε το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκτασή της παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε . Υποθέτουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Από το φέρουμε κάθετη προς την και έστω το ίχνος της πάνω στην . Η ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.
Πρόβλημα 4
Ο Γιώργος και ο Δημήτρης παίζουν το εξής παιχνίδι:
Αρχικά είναι γραμμένος στον πίνακα ο αριθμός . Ξεκινώντας από τον Γιώργο και παίζοντας εναλλάξ, κάθε παίκτης σβήνει τον αριθμό που βλέπει στον πίνακα και στην θέση του γράφει έναν μη αρνητικό ακέραιο, ο οποίος προκύπτει από τον προηγούμενο αριθμό αφαιρώντας ένα τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, το οποίο δεν είναι πολλαπλάσιο του . Ο παίκτης που θα γράψει πρώτος στον πίνακα τον αριθμό κερδίζει το παιχνίδι. Να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.
Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , ο οποίος διαιρεί τον για όλους τους πρώτους .
Πρόβλημα 2
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
(β)
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Οι κάθετες από τις κορυφές και προς τις απέναντι πλευρές και , αντίστοιχα, τέμνονται στο σημείο . Οι μεσοκάθετες των πλευρών του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Ονομάζουμε το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκτασή της παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε . Υποθέτουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Από το φέρουμε κάθετη προς την και έστω το ίχνος της πάνω στην . Η ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.
Πρόβλημα 4
Ο Γιώργος και ο Δημήτρης παίζουν το εξής παιχνίδι:
Αρχικά είναι γραμμένος στον πίνακα ο αριθμός . Ξεκινώντας από τον Γιώργο και παίζοντας εναλλάξ, κάθε παίκτης σβήνει τον αριθμό που βλέπει στον πίνακα και στην θέση του γράφει έναν μη αρνητικό ακέραιο, ο οποίος προκύπτει από τον προηγούμενο αριθμό αφαιρώντας ένα τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, το οποίο δεν είναι πολλαπλάσιο του . Ο παίκτης που θα γράψει πρώτος στον πίνακα τον αριθμό κερδίζει το παιχνίδι. Να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Παίρνοντας και έχουμε:Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , ο οποίος διαιρεί τον για όλους τους πρώτους .
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των παραπάνω αριθμών είναι ο:
Θα δείξουμε ότι ο μεγαλύτερος αριθμός είναι ο
Από :
Στην συνέχεια αν τότε και άρα αν τότε και άρα
Τέλος
και αν τότε και άρα
αν τότε και άρα
Οπότε ο ζητούμενος αριθμός είναι ο
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Σάβ Απρ 29, 2017 2:48 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Για ευκολία, αντί , γράφω .Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
(β)
α) Είναι
.
β) Από Cauchy-Schwarz, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
2)
(α) Ισχυει
Αρα οεδ. Ισότητα για
(β) Απο Andreescu επεται άμεσα το ζητούμενο!
Edit: Με πρόλαβε ο Ορέστης! Γεια σου Ορέστη!
(α) Ισχυει
Αρα οεδ. Ισότητα για
(β) Απο Andreescu επεται άμεσα το ζητούμενο!
Edit: Με πρόλαβε ο Ορέστης! Γεια σου Ορέστη!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Για ευκολία, χρησιμοποιώ αγγλικά γράμματα.Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Οι κάθετες από τις κορυφές και προς τις απέναντι πλευρές και , αντίστοιχα, τέμνονται στο σημείο . Οι μεσοκάθετες των πλευρών του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Ονομάζουμε το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκτασή της παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε . Υποθέτουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Από το φέρουμε κάθετη προς την και έστω το ίχνος της πάνω στην . Η ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.
Προφανώς, στο τετράπλευρο , οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Έτσι, .
Ακόμη, είναι προφανές ότι .
[Παίρνουμε σημείο στο επίπεδο (όπως στο σχήμα), ώστε το να είναι εγγράψιμο.
Τότε, .
Άρα, στο τρίγωνο , το σημείο είναι τέτοιο ώστε , οπότε είναι το περίκεντρο του.
Το είναι εγγράψιμο, άρα το είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του, οπότε .]
Από γνωστή ιδιότητα, .
Στο τρίγωνο , είναι , οπότε .
Από την , έπεται ότι στο τετράπλευρο οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα αυτό είναι παραλληλόγραμμο, οπότε (1).
Από , και αφού , το είναι εγγράψιμο.
Άρα, (2).
Από (1), (2), το ζητούμενο είναι άμεσο.
Υ.Γ. Τώρα βλέπω ότι οι λέξεις στις κόκκινες αγκύλες είναι περιττές, χωρίς να επηρεάζουν την υπόλοιπη λύση. Τις αφήνω για τα παραπάνω στοιχεία που αποδείχθηκαν.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Στην αρχή, στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός .Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4
Ο Γιώργος και ο Δημήτρης παίζουν το εξής παιχνίδι:
Αρχικά είναι γραμμένος στον πίνακα ο αριθμός . Ξεκινώντας από τον Γιώργο και παίζοντας εναλλάξ, κάθε παίκτης σβήνει τον αριθμό που βλέπει στον πίνακα και στην θέση του γράφει έναν μη αρνητικό ακέραιο, ο οποίος προκύπτει από τον προηγούμενο αριθμό αφαιρώντας ένα τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, το οποίο δεν είναι πολλαπλάσιο του . Ο παίκτης που θα γράψει πρώτος στον πίνακα τον αριθμό κερδίζει το παιχνίδι. Να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.
Ο Γιώργος, αφαιρεί ένα τέλειο τετράγωνο από τον , και γράφει στον πίνακα τον αριθμό .
Ο Δημήτρης, αφαιρεί ένα τέλειο τετράγωνο από τον , και γράφει στον πίνακα τον αριθμό .
Εδώ τελειώνει ο πρώτος γύρος.
Ακολουθούν και οι άλλοι γύροι, όπως φαίνεται στο σχήμα, μέχρι να τελειώσει το παιχνίδι.
Θα δείξουμε ότι ο Δημήτρης έχει στρατηγική νίκης όταν .
Θα δούμε τώρα πώς μπορεί να επιτευχθεί αυτό: έστω ότι ο Γιώργος στην αρχή του κάθε γύρου παίρνει από τον πίνακα τον αριθμό και έστω ότι αφαιρεί το . Τότε ο Δημήτρης παίρνει τον αριθμό , και έστω ότι αφαιρεί το .
Άρα, ο αριθμός που μένει στον πίνακα στο τέλος του κάθε γύρου είναι ο , και πρέπει , οπότε .
Αφού όμως (από εκφώνηση), πρέπει ή το αντίστροφο.
Άρα, όταν ο Γιώργος επιλέγει ώστε , ο Δημήτρης επιλέγει ώστε και αντίστροφα.
Όμως, ο αριθμός που αρχίζει η όλη διαδικασία αρχίζει από τον αριθμό , άρα πρέπει .
Άρα, η τελευταία κόκκινη κουκίδα, δηλαδή ο αριθμός που αφήνει στον πίνακα ο Δημήτρης, θα είναι ο .
Έτσι ο Γιώργος, παίρνει το , αφαιρεί (υποχρεωτικά), το και γράφει στον πίνακα το .
Τελικά, ο Δημήτρης, αφαιρεί και κερδίζει.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Κάπως αλλιώς:Soteris έγραψε:
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
Είναι , άρα .
Από Cauchy Schwarz, ό.έ.δ, με το για .
Υ.Γ. Είναι το Πρόβλημα 1 εδώ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Έχει απαντηθεί αλλά αφήνω άλλη μία λύση για τον τρόπο σκέψης
Έστω
Έχουμε Όμοια έχουμε και μετά προσθέτουμε και βγαίνει ο ζητούμενο, Η μόνη ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε είναι η
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες