Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

Συντονιστές: Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Απρ 27, 2017 8:21 am

Η ανισότητα x^2-x+0,96>\eta \mu x (για κάθε πραγματικό x) προτάθηκε χθες (Άσκηση 97) από τον Αντώνη Κυριακόπουλο στο Μαθηματικό Εργαστήρι (facebook)*: να δειχθεί ότι μπορεί να βελτιωθεί, με καθαρά σχολική μέθοδο, στην x^2-x+0,9>\eta \mu x. (Θα δώσω εδώ την λύση μου αμέσως μετά την Πρωτομαγιά, αν δεν υπάρξει ως τότε λύση ή εδώ ή εκεί.)

*Έδωσε ήδη λύση -- με το 0,96 -- ο Βαγγέλης Σταματιάδης. Όπως επισημαίνει ο Αντώνης, "μια παρόμοια λύση είχε δώσει και ο γνωστός μας (νομικός και εραστής των Μαθηματικών ) Γιώργος Ευαγγελόπουλος στο περιοδικό CRUX MATHEMATICORUM, Volume 14, σελίδα 294 ( 1988)".


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 27, 2017 9:14 am

ημιτριγωνομετρική.png
ημιτριγωνομετρική.png (56.2 KiB) Προβλήθηκε 1483 φορές
Το τριώνυμο x^2-x-0.9 , φθίνει στο διάστημα (-\infty,\dfrac{1}{2}] και αυξάνει στο [\dfrac{1}{2},+\infty)

με ελάχιστο το f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{13}{20} και παίρνει την τιμή 1 , για x=-0.0916 , x=1.0916 .

Το ημίτονο είναι αύξον στο διάστημα [-0.0916,1.0916] . Τα παραπάνω μας περιορίζουν το διάστημα

που μας απασχολεί η ανισότητα x^2-x+0.9>sinx στο (\dfrac{1}{2} , 1.0916) . Ορίστε και σχήμα ....

Σχετικό ερώτημα : Βρείτε μια καλή προσέγγιση του sin(\dfrac{1}{2})


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3000
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 27, 2017 10:09 am

Θέτω το πρόβλημα στην σωστή του βάση.

Υπάρχει a\in \mathbb{R} ώστε για κάθε x\in \mathbb{R}

να είναι x^{2}-x+a-\sin x\geq 0.


Αντιμετώπιση
Εστω f(x)=x^{2}-x+a-\sin x.

Είναι
f'(x)=2x-1-\cos x,f''(x)=2+\sin x> 0

Η εξίσωση 0=2x-1-\cos x έχει μοναδική ρίζα έστω την r\in (\frac{1}{2},1)
(μια εύκολη μελέτη είναι)

Ετσι f(x)\geq f(r) και πρέπει το a

να ικανοποιεί την r^{2}-r+a-\sin r=0

Δηλαδή a=r-r^{2}+\sqrt{1-(2r-1)^{2}}

Προσεγγίζοντας το r μπορούμε να βρούμε φράγματα για το a


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3000
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 27, 2017 10:03 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θέτω το πρόβλημα στην σωστή του βάση.

Υπάρχει a\in \mathbb{R} ώστε για κάθε x\in \mathbb{R}

να είναι x^{2}-x+a-\sin x\geq 0.


Αντιμετώπιση
Εστω f(x)=x^{2}-x+a-\sin x.

Είναι
f'(x)=2x-1-\cos x,f''(x)=2+\sin x> 0

Η εξίσωση 0=2x-1-\cos x έχει μοναδική ρίζα έστω την r\in (\frac{1}{2},1)
(μια εύκολη μελέτη είναι)

Ετσι f(x)\geq f(r) και πρέπει το a

να ικανοποιεί την r^{2}-r+a-\sin r=0

Δηλαδή a=r-r^{2}+\sqrt{1-(2r-1)^{2}}

Προσεγγίζοντας το r μπορούμε να βρούμε φράγματα για το a
Συνεχίζω τα προηγούμενα για να δείξω πως μπορούμε να πάρουμε φράγματα για το a.
Θέτουμε g(x)=2x-1-\cos x

Το a=r(1-r)+2\sqrt{r(1-r)}

Η συνάρτηση t(1-t),t\in (\frac{1}{2},1) είναι φθίνουσα ενώ

η t+2\sqrt{t},t> 0 είναι αύξουσα.

Ετσι αν g(c)< 0 τότε c< r και βάσει των προηγουμένων

προκύπτει a\leq c(1-c)+2\sqrt{c(1-c)}

ενώ αν g(b)> 0 προκύπτει ότι a\geq b(1-b)+2\sqrt{b(1-b)}

Βρίσκοντας c,b (το πρόβλημα είναι εκτίμηση του \cos x)

έχουμε άνω κάτω φράγματα για το a.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Απρ 27, 2017 10:45 pm

Θανάση και Σταύρο σας ευχαριστώ για τις ιδέες σας. Στην δική μου προσέγγιση αποδεικνύω ότι το 0,96 μπορεί να αντικατασταθεί από το

10\sqrt{2}-14+2\sqrt{10\sqrt{2}-14},

το οποίο είναι όντως κατά τι μικρότερο του 0,9 -- με το χέρι αυτό ανάγεται στην ανισότητα 2284880000<2284935601 :D

Λεπτομέρειες μετά την Πρωτομαγιά (αν δεν στείλει κάποιος κάτι άλλο).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μάιος 02, 2017 1:18 pm

Απόδειξη της x^2-x+0,9>sinx ... στο πνεύμα της απόδειξης που ανέβασε στο ΦΒ ο Βαγγέλης Σταματιάδης αλλά και των εδώ παρατηρήσεων Θανάση και Σταύρου:

Θέτοντας f(x)=x^2-x+0,9-sinx, παρατηρούμε ότι για την f(x)>0 αρκεί να αποδειχθεί η f(x_0)>0 για το τυχόν σημείο x_0 τοπικού ελαχίστου της f. Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί η x_0^2-x_0-sinx_0>-0,9 για 2x_0-1-cosx_0=0. Από την 1-\displaystyle\frac{x_0^2}{2}<cosx_0=2x_0-1 προκύπτει η τριωνυμική ανισότητα x_0^2+4x_0-4>0, που οδηγεί, λόγω της cosx_0\geq -1, στην x_0>-2+2\sqrt{2}. Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί η x_0^2-x_0-sinx_0>-0,9 για x_0>-2+2\sqrt{2}. Λόγω όμως των sinx_0=\sqrt{1-cos^2x_0} και cosx_0=2x_0-1 η αποδεικτέα ανισότητα γίνεται x_0-x_0^2+2\sqrt{x_0-x_0^2}<0,9, για -2+2\sqrt{2}<x_0<1 πάντοτε.

Θέτοντας g(x)=x-x^2+2\sqrt{x-x^2} παρατηρούμε ότι g'(x)=1-2x+\displaystyle\frac{1-2x}{\sqrt{x-x^2}}<0, άρα η g είναι φθίνουσα στο (0,5, 1). Επειδή ισχύει η 0,5 <-2+2\sqrt{2}<1, συμπεραίνουμε ότι ισχύει η g(x)<g(-2+2\sqrt{2}) για -2+2\sqrt{2}<x<1. Ισχύει επομένως η g(x_0)<g(-2+2\sqrt{2}), δηλαδή η x_0-x_0^2+2\sqrt{x_0-x_0^2}<10\sqrt{2}-14+2\sqrt{10\sqrt{2}-14}. Όπως όμως επισήμανα στην προηγούμενη δημοσίευση, ισχύει οριακά, και αποδεικνύεται σχετικά εύκολα με το χέρι, και η 10\sqrt{2}-14+2\sqrt{10\sqrt{2}-14}<0,9 8-)

[Είναι το είδος της ανισότητας όπου δεν υπάρχει ακριβές φράγμα: ισχύει η sinx+x-x^2<0,96, ισχύει, ακόμη καλύτερα, και η sinx+x-x^2<0,9. Στην πραγματικότητα ισχύει και η sinx+x-x^2<0,879073, ενώ η επόμενη προσέγγιση, 1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}<cosx (μη σχολική), θα έδινε sinx+x-x^2<0,879079 (κατά μη σχολικό τρόπο, μέσω επίλυσης εξίσωσης έκτου βαθμού). Στον αντίποδα, υπάρχει πιθανώς ευκολότερη απόδειξη της sinx+x-x^2<1 (δεν το έψαξα). Θεωρώ ότι ... από την στιγμή που είναι αποδεκτή ως δημοσιεύσιμη ανισότητα (και μάλιστα στο CRUX) η sinx+x-x^2<0,96 ... είναι αποδεκτή, και σαφώς ελκυστικότερη (ακόμη και λόγω λιγότερων δεκαδικών ψηφίων), και η sinx+x-x^2<0,9 -- αν μάλιστα ήμουν κριτής στο CRUX προ τριακονταετίας και μου είχαν στείλει το 0,96 ... πιθανολογώ ότι θα το είχα κάνει 0,9 :lol: ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 02, 2017 1:49 pm

Ας αναφερθεί ότι το πρόβλημα αυτό υπάρχει και στον Μπαϊλάκη "Άλγεβρα Β' Λυκείου", σελ. 276, ο οποίος γράφει ότι η προέλευσή του είναι η Βουλγαρία, χωρίς περισσότερες λεπτομέρειες.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες