Με απλά υλικά (3)

#1

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,2]}$ συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(0)=2}$ . Η γραφική παράσταση της παραγώγου της φαίνεται στο σχήμα .
Τα εμβαδά των χωρίων $\displaystyle{{{\Omega }_{1}}}$ , $\displaystyle{{{\Omega }_{2}}}$ είναι $\displaystyle{2,1}$ τετραγωνικές μονάδες , αντίστοιχα .
Β1. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
Β2. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο στη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία
$\displaystyle{(\delta )}$ με εξίσωση $\displaystyle{2y=x+2017}$ .
Β4. Αν $\displaystyle{m\in [2,4]}$ να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=m}$

#2

exdx έγραψε:Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,2]}$ συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(0)=2}$ . Η γραφική παράσταση της παραγώγου της φαίνεται στο σχήμα .
Τα εμβαδά των χωρίων $\displaystyle{{{\Omega }_{1}}}$ , $\displaystyle{{{\Omega }_{2}}}$ είναι $\displaystyle{2,1}$ τετραγωνικές μονάδες , αντίστοιχα .
Β1. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
Β2. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο στη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία
$\displaystyle{(\delta )}$ με εξίσωση $\displaystyle{2y=x+2017}$ .
Β4. Αν $\displaystyle{m\in [2,4]}$ να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=m}$

...με τα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλη την παρέα, μιά αντιμετώπιση...

Β1. Σύμφωνα με το σχήμα ${f}'(x)>0,\,\,\,x\in (0,\,\,1),\,\,\,{f}'(x)<0,\,\,\,x\in (1,\,\,2)$ επομένως η $\displaystyle{f}$ είναι γνήσια αύξουσα στο

διάστημα $[0,\,1]$ και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[1,\,2]$ επομένως παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(0)=2

τοπικό μέγιστο το f(1)

και τοπικό ελάχιστο το f(2)

Β2. Επειδή η {f}'

σύμφωνα με το σχήμα είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,2]$ η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη στο διάστημα $[0,\,2]$ , άρα δεν έχει σημεία καμπής.

Β3. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,2)$ που να ισχύει ${f}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}$ Από υπόθεση έχουμε ότι

$\int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)dx}=2,\,\,\,-\int\limits_{1}^{2}{{f}'(x)dx}=1$ σύμφωνα με το σχήμα επομένως

$\left[ f(x) \right]_{0}^{1}=2,\,\,\,-\left[ f(x) \right]_{1}^{2}=1$ ή $f(1)-f(0)=2,\,\,\,-(f(2)-f(1))=1$ άρα αφού

$\displaystyle{f(0)=2}$ είναι f(1)=4

και

οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (0,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,\,2)$ με

${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2,\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=-1$ και επειδή $-1<\frac{1}{2}<2$

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών για την συνεχή $\displaystyle{f}$ υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,2)$ που να ισχύει ${f}'({{x}_{0}})=\frac{1}{2}$

...η συνέχεια της..

B4. Τώρα επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[0,\,1]$ και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[1,\,2]$

θα είναι $f([0,\,1])=[f(0),\,f(1)],\,\,f([1,\,2])=[f(2),\,f(1)]$ ή $f([0,\,1])=[2,\,\,4],\,\,f([1,\,2])=[3,\,4]$ έτσι

αν m=2

έχει μοναδική την x=0

αν

έχει μοναδική την ${{x}_{1}}\in (0,\,1)$

αν 3<m<4

έχει δύο μία ${{x}_{1}}\in (0,\,1)$ και μία ${{x}_{2}}\in (1,\,2)$ και τέλος

αν m=4

έχει μοναδική την x=1

Φιλικάκαι Μαθηματικά
Βασίλης

Tolaso J Kos · #3

Μιας και με πρόλαβε ο Βασίλης στη λύση θα αρκεστώ να πω πως η άσκηση είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΩΡΑΙΑ και να ευχαριστήσω το Γιώργη που τη μοιράστηκε ...

Χρόνια πολλά , καλή Ανάσταση και καλές γιορτές!

kfd · #4

Στην απάντηση του Β1 νομίζω πρέπει να αναφερθούν και οι τιμές των ακροτάτων $f\left ( 1 \right ),f\left ( 2 \right )$ , καθώς και ότι τo $f\left ( 1 \right )$ είναι ολικό μέγιστο, ενώ το $f\left ( 0 \right )$ είναι ολικό ελάχιστο.

Christos.N · #5

Γιώργο επίσης θα ήθελα να κάνω μια παρατήρηση σε αυτό το πολύ ωραίο θέμα. Επειδή μια άσκηση δίνει τις αληθινές της μάχες με τους μαθητές και απο εκεί φαίνεται η δύναμη της, σήμερα που την δοκίμασα μου δόθηκε λύση ότι $\displaystyle{f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{2}}$ χρησιμοποιώντας το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. Δηλαδή θεωρήθηκε ότι το σύστημα αξόνων είναι ορθοκανονικό , μάλλον αναπόφευκτα πρέπει να γίνει αυτή η θεώρηση και να δοθεί αυτή η πληροφορία ίσως με κάποιο πλέγμα.

#6

Το πλέγμα δεν μπήκε επίτηδες διότι δεν ήθελα να στηριχτεί ο λύτης στις υπόλοιπες τιμές της $\displaystyle{f'}$ , αλλά μόνο στις τιμές των εμβαδών.
Αν κάποιος χρειάζεται το $\displaystyle{f'({x_0}) = \frac{1}{2}}$ , θα πρέπει να το αποδείξει .

Christos.N · #7

Το επιχείρημα όμως αυτό έχει κάποια βάση.

: Καταγραφή.PNG (35.96 KiB) Προβλήθηκε 2109 φορές

Για αυτόν τον λόγο αναφέρω πιο πάνω για αν πρέπει να δοθεί η πληροφορία ορθοκανονικού συστήματος ή μη ορθοκανονικού.

Υ.Γ.: Το προφανές λάθος που παρατηρήσατε στο σχήμα παραπάνω όπου $\displaystyle{x = \frac{1}{2}}$ αντί για το σωστό $\displaystyle{y = \frac{1}{2}}$ , ας είναι μια μικρή παραχώρηση του φιλαλήθες και φιλοχρήστου κριτικού κοινού του

.

Με απλά υλικά (3)

Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Re: Με απλά υλικά (3)

Μέλη σε σύνδεση