Απλή και Ωραία!

JimNt. · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b)

ώστε οι $A=\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$ και $B=\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$ να είναι συγχρόνως ακέραιοι. Για μαθητές.

JimNt. · #2

Επαναφορά , είναι απλή.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Έλα και κάποιο παιδί να την λύσει... Είναι ωραία και κλασική άσκηση!!

harrisp · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #5

Γεια σε όλους!

Πρέπει $\displaystyle A \in \mathbb{Z} \Rightarrow|a^2+b| \geqslant |b^2-a| \Rightarrow a^2+b \geqslant b^2-a$

$\Leftrightarrow a^2-b^2 +a+b \geqslant 0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)+a+b \geqslant 0 \Leftrightarrow a+1 \geqslant b, (1)$ .

Όμοια $a \leqslant b+1, \, (2)$ .

Από (1), (2) $b+1 \geqslant a \geqslant b-1$ , άρα a=b-1

ή

.

Τα υπόλοιπα εύκολα ...

JimNt. · #6

Η άσκηση είναι από APMO

Τσιαλας Νικολαος · #7

Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!

harrisp · #8

https://artofproblemsolving.com/communi ... 806p474877

#9

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!

Υπόδειξη: Αν a=b+1

τότε βγαίνει B=1

(τελειώσαμε). Επίσης βγαίνει $A= 1 + \dfrac {4b+2}{b^2-b-1}$ . Αυτό απαιτεί $b^2-b-1\le 4b+2$ ή αλλιώς $b^2\le 5b+3$ , το οποίο αποκλείει όλα τα $b\ge 6$ . Και λοιπά.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #10

Πρέπει $|a^{2}+b|\geq |b^{2}-a|$ και $|b^{2}+a|\geq |a^{2}-b|$

Αφού $a^{2}+b>0$ και $b^{2}+a>0$ , έχω:

$a^{2}+b \geq b^{2}-a \Rightarrow (a+b)(a-b+1) \geq 0$ και $b^{2}+a \geq a^{2} -b \Rightarrow (a+b)(a-b-1) \leq 0$

Επειδή (a+b)

θετικό, έχω:

$a-b \geq -1$ και $a-b \leq 1$

Άρα $-1 \leq a-b \leq 1$

Επομένως a=b-1

ή

$\cdot$ Για a=b

έχω:

$A=\dfrac{a^{2}+a}{a^{2}-a}=\dfrac{a+1}{a-1}\in\mathbb{Z}$

Έστω ότι a-1=x

. Άρα

. Πρέπει

. Αφού

τότε

δηλαδή

Άρα $\boxed{(a,b)=(2,2),(3,3)}$

$\cdot$ Για a=b-1

έχω:

$A=\dfrac{(b-1)^{2}+b}{b^{2}-b+1}=1$

$B=\dfrac{b^{2}+b-1}{(b-1)^{2}-b}=\dfrac{b^{2}+b-1}{b^{2}-3b+1}=1+\dfrac{4b-2}{b^{2}-3b+1}\in\mathbb{Z}$

Ισχύει $4b-2 \geq b^{2}-3b \Rightarrow b^{2}-7b+3 \leq 0$

$\Delta=37$

$b 1,2=\dfrac{7 \pm \sqrt{\Delta}}{2}$

Άρα $\dfrac{7-\sqrt{37}}{2} \leq b \leq \dfrac{7+\sqrt{37}}{2}$

Επομένως, $b \leq 6$

$\bullet$ Για b=1

,

Αδύνατο
$\bullet$ Για b=2

,

Δεκτό

Τα υπόλοιπα εύκολα

Τσιαλας Νικολαος · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!
Υπόδειξη: Αν τότε βγαίνει (τελειώσαμε). Επίσης βγαίνει $A= 1 + \dfrac {4b+2}{b^2-b-1}$ . Αυτό απαιτεί $b^2-b-1\le 4b+2$ ή αλλιώς $b^2\le 5b+3$ , το οποίο αποκλείει όλα τα $b\ge 6$ . Και λοιπά.

Έτσι τη λύσαμε..απλά δεν είναι και τόσο απλή τελικά. Όπως και για a=b βγαίνει ωραία διαιρετότητα x/x+2 άρα α=b=2 ή 3

Απλή και Ωραία!

Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Re: Απλή και Ωραία!

Μέλη σε σύνδεση