Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2017 1:54 am

Έστω f μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα D\subseteq R με {f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 10, 2017 2:34 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω f μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα D\subseteq R με {f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Στάθης
...Για Καληνύχτα....

Για {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in Dαν f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) ισχύει {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} τότε σύμφωνα με το Rolle στο διάστημα που ορίζουν τα

{{x}_{1}},\,{{x}_{2}} θα υπάρχει {{x}_{3}} που {f}'({{x}_{3}})=0 που είναι άτοπο λογω υπόθεσης άρα για κάθε

{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in Dαν f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}}) τότε {{x}_{1}}={{x}_{2}} επομένως η f είναι '1-1' στο D.

Έτσι για \alpha <\beta <\gamma με \alpha ,\beta ,\gamma \in D λόγω του '1-1' θα είναι f(\alpha )\ne f(\beta )\ne f(\gamma )\ne f(\alpha )

και θα ισχύει f(\alpha )<f(\beta )<f(\gamma ) ή f(\alpha )>f(\beta )>f(\gamma ) γιατί σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση διάταξης των τιμών ,

για παράδειγμα f(\gamma )<f(\alpha )<f(\beta ) σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει {{x}_{0}}\in (\beta ,\,\,\gamma ) ώστε

f({{x}_{0}})=f(\alpha ) και σύμφωνα με το Rolle θα υπάρχει \xi \in (\alpha ,\,{{x}_{0}})με {f}'(\xi )=0που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης.

Επομένως η η f είναι γνησίως μονότονη στο D

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Απρ 03, 2017 12:05 am

Να συμπληρώσω κι εγώ:
Μπορούμε να δείξουμε ότι η f' διατηρεί πρόσημο στο D ;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2226
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Απρ 03, 2017 1:31 am

Απο παλια στο συννημένο
Συνημμένα
4 Eme Darboux.doc
(250.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 104 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης