SEEMOUS 2017/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2017/3
Όμορφο! Φαινόταν εύκολο αλλά μάλλον δεν είναι.
Ορίζω συναρτήσεις και οι οποίες στέλνουν το στο . Όλες οι συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμες. Ας γράψουμε για τις αντίστροφες.
Τότε η αντικατάσταση δίνει
και ομοίως
και
Θέλουμε να δείξουμε ότι
Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει ότι
Θα το δείξουμε για κάθε το οποίο επίσης είναι αρκετό.
Γράφω . Τότε
οπότε
Επίσης,
το οποίο δίνει
Άρα
Αλλά και που δίνουν επίσης .
Τώρα είναι άμεσο ότι
αφού .
Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ορίζω συναρτήσεις και οι οποίες στέλνουν το στο . Όλες οι συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμες. Ας γράψουμε για τις αντίστροφες.
Τότε η αντικατάσταση δίνει
και ομοίως
και
Θέλουμε να δείξουμε ότι
Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει ότι
Θα το δείξουμε για κάθε το οποίο επίσης είναι αρκετό.
Γράφω . Τότε
οπότε
Επίσης,
το οποίο δίνει
Άρα
Αλλά και που δίνουν επίσης .
Τώρα είναι άμεσο ότι
αφού .
Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
-
- Δημοσιεύσεις: 300
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: SEEMOUS 2017/3
Μία μικρή τροποποίηση στην παραπάνω λύση (κρατώντας τον ίδιο συμβολισμό):
Από τύπους Vieta, και με αλλαγή μεταβλητής () στα 3 επιμέρους διαστήματα έχουμε
Από τύπους Vieta, και με αλλαγή μεταβλητής () στα 3 επιμέρους διαστήματα έχουμε
Λώλας Παναγιώτης
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: SEEMOUS 2017/3
Αν και είμαι β λυκείου θα κάνω μια προσπάθεια για την 3
Έστω ότι
όπου
Η παραγωγος της θα είναι:
Έστω
,, αντίστροφες των ,, αντίστοιχα
Για κάθε στο ισχύει ότι
είναι η ρίζα της στο
Το ιδιο ισχύει και για τις και στα διαστήματα και αντίστοιχα
Οποτε:
Ισχύει ακόμη ότι
Άρα: σχεση από την οποία προκύπτει το ζητούμενο
Έστω ότι
όπου
Η παραγωγος της θα είναι:
Έστω
,, αντίστροφες των ,, αντίστοιχα
Για κάθε στο ισχύει ότι
είναι η ρίζα της στο
Το ιδιο ισχύει και για τις και στα διαστήματα και αντίστοιχα
Οποτε:
Ισχύει ακόμη ότι
Άρα: σχεση από την οποία προκύπτει το ζητούμενο
Τσούρα Χριστίνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες