Τρεις κύκλοι.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 122.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα τα $O_{1}$ και $O_{2}$ τέμνονται στα σημεία

και

.
Δείξτε ότι τα τόξα

και

του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $O_{1}, A$ και $O_{2}$ , είναι ίσα.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σας κύριε Φάνη!

Θα αποδείξουμε ότι αν η O_1 B

τέμνει τον κύκλο κέντρου O_2

στο

, τότε $H' \equiv H$ δηλαδή αρκεί ισοδύναμα νδο A, O_1, O_2, H'

ομοκυκλικά.

Έχουμε προφανώς $O_1O_2 \perp AB$ , άρα $\widehat{O_2O_1A}=\widehat{O_2O_1B}=\widehat{O_2O_1H'}$ .

Έχουμε O_2A=O_2H

, άρα με Ν. Ημιτόνων στα $O_1O_2A, \, O_1O_2H'$ και εξισώνοντας παίρνουμε $\sin \widehat{O_1AO_2}=\sin \widehat{O_1HO_2} \Leftrightarrow \widehat{O_1AO_2}+\widehat{O_1HO_2}=180^0$ , άρα O_1H'O_2A

εγγράψιμο και $H \equiv H'$ , που σημαίνει O_1,B, H

συνευθειακά, και όμοια O_2,B,Z

συνευθειακά.

Από το εγγράψιμο O_1O_2ZH

παίρνουμε $\widehat{ZO_1H}=\widehat{ZO_2H} \Leftrightarrow \widehat{ZO_1B}=\widehat{BO_2H} \Leftrightarrow$

$2 \cdot \widehat{ZAB}=2 \cdot \widehat{HAB} \Leftrightarrow \widehat{ZAB}=\widehat{BAH} \Leftrightarrow \boxed{ZE=EH}$ ,

που εύκολα δίνει το ζητούμενο.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Εναλλακτικά:

Φέρνουμε την AZ, AH, O_1A, O_1Z, O_2A

και

. Αρκεί να δείξουμε πως $\widehat{ZAE}=\widehat{EAH}\Leftrightarrow \widehat{ZO_1B}=\widehat{BO_2H}$ .

Αρχικά θα αποδείξουμε πως τα σημεία O_1, B, H

είναι συνευθειακά. Έστω πως δεν ήταν. Τότε φέρνουμε την O_1B

και έστω

το σημείο τομής της με τον κύκλο με κέντρο το O_2

.

Έστω $\widehat{AO_2K}=2x$ . Τότε έχουμε ότι $\widehat{ABK}=180^o-x\Leftrightarrow \widehat{ABO_1}=x$ , δηλαδή $\widehat{BO_1A}=180-2x$ . Άρα το AO_1KO_2

είναι εγγεγραμμένο, δηλαδή το

ταυτίζεται με το

. Άρα τα σημεία O_1, B, H

είναι συνευθειακά.

Όμοια και τα σημεία O_2, B, Z

είναι συνευθειακά.

Άρα $\widehat{ZO_1B}=\widehat{ZO_1H}=\widehat{ZO_2H}=\widehat{BO_2H}$ .

nikkru · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:122.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα τα $O_{1}$ και $O_{2}$ τέμνονται στα σημεία και .
Δείξτε ότι τα τόξα και του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $O_{1}, A$ και $O_{2}$ , είναι ίσα.

Καλησπέρα,

Ο (C)

διέρχεται από τα κέντρα των κύκλων C_1,C_2

οπότε τα

είναι μέσα των τόξων AZ,AH

.

Ακόμη $\displaystyle{A\widehat{N}K=\frac{AO_2+ZO_1}{2}=\frac{HO_2+AO_1}{2}=A\widehat{K}N}$ , δηλαδή το τρίγωνο ANK

είναι ισοσκελές,

με αποτέλεσμα το ύψος του

να είναι και διχοτόμος της $Z\widehat{A}H$ δηλαδή τα τόξα

και

είναι ίσα.

: Τρεις_κύκλοι.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Edit: Έκανα μια διόρθωση που εντόπισε ο Διονύσης Αδαμόπουλος.

Τρεις κύκλοι.

Τρεις κύκλοι.

Re: Τρεις κύκλοι.

Re: Τρεις κύκλοι.

Re: Τρεις κύκλοι.

Μέλη σε σύνδεση