Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

M.S.Vovos · #1

Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με 0<a<b

. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στα σημεία $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει $\xi \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε το σημείο $M\left ( \xi ,f(\xi ) \right )$ να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με . Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα σημεία $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει $\xi \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε το σημείο $M\left ( \xi ,f(\xi ) \right )$ να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι εφαπτόμενες στα $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , που είναι οι

$y-f(a)={f}'(a)(x-a),\,\,\,y-f(\beta )={f}'(\beta )(x-\beta )$ αφού διέρχονται από την αρχή των αξόνων θα ισχύουν

$-f(a)={f}'(a)(-a),\,\,\,-f(\beta )={f}'(\beta )(-\beta )$ ή

$f(a)=a{f}'(a),\,\,\,f(\beta )=\beta {f}'(\beta )$ έτσι για την συνάρτηση $g(x)=x{f}'(x)-f(x),\,\,x\in [a,\,\,\beta ]$

που είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)={f}'(x)+x{f}''(x)-{f}'(x)=x{f}''(x)

υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\,\beta )$ ώστε

${g}''(\xi )=0\Leftrightarrow \xi {f}''(\xi )=0\Leftrightarrow {f}''(\xi )=0$ αφού 0<a<b

και άρα $\xi \ne 0$

επομένως η πρόταση είναι αληθής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με . Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα σημεία $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει $\xi \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε το σημείο $M\left ( \xi ,f(\xi ) \right )$ να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Σταμ. Γλάρος · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με . Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα σημεία $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει $\xi \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε το σημείο $M\left ( \xi ,f(\xi ) \right )$ να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το

μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.$

Οι εφαπτομένες της $C_{f}$ στα σημεία $A\left ( \sqrt{3},f(\sqrt{3}) \right )$ και $Β\left ( \sqrt{22},f(\sqrt{22}) \right )$ είναι οι $(\varepsilon _{1}):y= 2(2-\sqrt{3})x$ και $(\varepsilon _{2}):y= 2(\sqrt{22}-5)x$ αντιστοίχως .
Προφανώς διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

: Γεωμετρικό Συμπέρασμα.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το $\Gamma \Delta$ .
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #5

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.$

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το $\Gamma \Delta$ .
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... = - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}$

Σταμ. Γλάρος · #6

Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.$

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το $\Gamma \Delta$ .
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... = - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}$

Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο

και στο

Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

M.S.Vovos · #7

Χαίρομαι που υπήρξε συζήτηση. Ίσως να έξυσα παλιές πληγές με το πιθανό σημείο καμπής...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Μένει να δούμε και την απόδειξη λοιπόν. Θα έχει πολύ ενδιαφέρον.

Φιλικά.

Σταμ. Γλάρος · #8

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.$

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το $\Gamma \Delta$ .
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... = - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}$
Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο και στο
Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Καλησπέρα.
Επανέρχομαι με νέα συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση που πρότεινε την χρονιά 2003 το φροντιστήριο της Σάμου Alpha, για το ΄4ο θέμα της χρονιάς αυτής.
Την έχω μετατοπίσει ώστε να υπάρχουν οι εφαπτομένες.
Είναι η $f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-3)^4+2(x-3)^3-4 & &x\in[0,2) \\ 2x-9& & x\in[2,4]\\ -(x-3)^4+2(x-3)^3-2& & x\in(4,6] \end{matrix}\right.$
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [0,6]

με:
$f'(x)=\left\{\begin{matrix} 4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in[0,2) \\ 2& & x\in[2,4]\\ -4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.$
Επίσης αποδεικνύουμε ότι και η

είναι παραγωγίσιμη στο [0,6]

με:
$f''(x)=\left\{\begin{matrix} 12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in[0,2) \\ 0& & x\in[2,4]\\ -12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.$

Στο [0,2]

είναι

.
Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $x_{1}\in[0,\dfrac{3}{2}]$ είναι $y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1})$ .
Για να διέρχεται η παραπάνω ευθεία από την αρχή των αξόνων πρέπει να ισχύει $f(x_{1})=x_{1}f'(x_{1})$ .
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)-xf'(x)

. Από θεώρημα Bolzano στην

στο $[0,\dfrac{3}{2}]$ συμπεραίνουμε ότι
υπάρχει $x_{1}\in(0,\dfrac{3}{2})$ ώστε $g(x_{1})=0.$
Άρα στο σημείο $A(x_{1}, f(x_{1}))$ η εφαπτομένη της $C_{f}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ομοίως από θεώρημα Bolzano στην

στο $[\dfrac{9}{2},5]$ συμπεραίνουμε ότι υπάρχει $x_{2}\in(\dfrac{9}{2}, 5)$ ώστε $g(x_{2})=0.$
Συνεπώς και στο σημείο $B(x_{2}, f(x_{2}))$ η εφαπτομένη της $C_{f}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Το σχήμα είναι παρόπμοιο με το προηγούμενο που έδωσα.
Επομένως, περιορίζοντας την συνάρτηση στο $[x_{1}, x_{2}]$ , νομίζω ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις της άσκησης.
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με . Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα σημεία $A\left ( a,f(a) \right )$ και $B\left ( b,f(b) \right )$ , διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει $\xi \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε το σημείο $M\left ( \xi ,f(\xi ) \right )$ να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Δυστυχώς αλλά λέει η Ανάλυση
Υπάρχει συνάρτηση με τα παραπάνω χαρακτηριστικά που δεν έχει σημείο καμπής.
Η κατασκευή της βασίζετε στην κατασκευή που έχω προτείνει στο
viewtopic.php?f=9&t=57535

Βάση αυτού,μετατοπίζοντας την συνάρτηση που υπάρχει εκεί, μπορούμε να βρούμε

$f:[2,3]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με f(2)=f(3)=0

και δεν αλλάζει πρόσημο στις ρίζες της που είναι άπειρες(δες την παραπομπή)

Η συνάρτηση είναι $r:[1,4]\rightarrow \mathbb{R}$ με

$r(x)=-\frac{x^{3}}{6}+x^{2}+\frac{2}{3},x\in [1,2]$

$r(x)=\frac{10}{3}+2(x-2)+\int_{2}^{x}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,x\in (2,3)$

$r(x)=\frac{10}{3}+2+A+(B+2)(x-3)+k(x-3)^{4},x\in [3,4]$

όπου $A=\int_{2}^{3}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,B=\int_{2}^{3}f(t)dt$

και $k=\dfrac{-4+\frac{10}{3}+A-3B}{15}$

Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Μέλη σε σύνδεση