Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 12, 2017 11:21 pm

Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1557
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Φεβ 13, 2017 12:56 am

M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι εφαπτόμενες στα A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), που είναι οι

y-f(a)={f}'(a)(x-a),\,\,\,y-f(\beta )={f}'(\beta )(x-\beta ) αφού διέρχονται από την αρχή των αξόνων θα ισχύουν

-f(a)={f}'(a)(-a),\,\,\,-f(\beta )={f}'(\beta )(-\beta ) ή

f(a)=a{f}'(a),\,\,\,f(\beta )=\beta {f}'(\beta ) έτσι για την συνάρτηση g(x)=x{f}'(x)-f(x),\,\,x\in [a,\,\,\beta ]

που είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)={f}'(x)+x{f}''(x)-{f}'(x)=x{f}''(x) υπάρχει \xi \in (\alpha ,\,\beta ) ώστε

{g}''(\xi )=0\Leftrightarrow \xi {f}''(\xi )=0\Leftrightarrow {f}''(\xi )=0 αφού 0<a<b και άρα \xi \ne 0

επομένως η πρόταση είναι αληθής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 13, 2017 2:08 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 354
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Φεβ 14, 2017 7:25 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Οι εφαπτομένες της C_{f} στα σημεία A\left ( \sqrt{3},f(\sqrt{3}) \right ) και Β\left ( \sqrt{22},f(\sqrt{22}) \right ) είναι οι (\varepsilon _{1}):y= 2(2-\sqrt{3})x και (\varepsilon _{2}):y= 2(\sqrt{22}-5)x αντιστοίχως .
Προφανώς διέρχονται από την αρχή των αξόνων.
Γεωμετρικό Συμπέρασμα.png
Γεωμετρικό Συμπέρασμα.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές
Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1904
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Φεβ 14, 2017 8:02 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 354
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Φεβ 14, 2017 11:10 pm

Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}
Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο 3 και στο 4.
Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 909
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Φεβ 15, 2017 9:41 pm

Χαίρομαι που υπήρξε συζήτηση. Ίσως να έξυσα παλιές πληγές με το πιθανό σημείο καμπής...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Μένει να δούμε και την απόδειξη λοιπόν. Θα έχει πολύ ενδιαφέρον.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 354
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Φεβ 16, 2017 12:19 am

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε: Καλησπέρα στην εκλεκτή ομήγυρη.
Η άσκηση του Μάριου καθώς και οι τοποθετήσεις των εκλεκτών φίλων μέσα από το :logo: μου ξύπνησαν μνήμες .
Μάιος του 2003, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, θέμα 4ο.
Εδώ πολλοί έδωσαν εξετάσεις και ...απέτυχαν. Και δεν εννοώ τους μαθητές!

Δίνω μια συνάρτηση η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θέματος .
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-3 & &x\in [\sqrt{3},3) \\ -2x+6& &x\in[3,4] \\ x^2-10x+22 & &x\in(4,\sqrt{22}) \end{matrix}\right.

Έχουμε εδώ την περίπτωση κατά την οποία η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής.
Όπως πολύ σωστά επεσήμανε παραπάνω ο Σταύρος, ένα μέρος της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Στην περίπτωσή μας το \Gamma \Delta.
Ελπίζω να μην κούρασα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Πληροί όμως ; είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα;

π.χ.\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = ... =  - 2 \ne 0 = .... = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f'\left( x \right) - f'\left( 3 \right)}}{{x - 3}}}
Καλησπέρα.
Χρήστο έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο 3 και στο 4.
Θα το ψάξω με άλλη συνάρτηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Καλησπέρα.
Επανέρχομαι με νέα συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση που πρότεινε την χρονιά 2003 το φροντιστήριο της Σάμου Alpha, για το ΄4ο θέμα της χρονιάς αυτής.
Την έχω μετατοπίσει ώστε να υπάρχουν οι εφαπτομένες.
Είναι η f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-3)^4+2(x-3)^3-4 & &x\in[0,2) \\ 2x-9& & x\in[2,4]\\ -(x-3)^4+2(x-3)^3-2& & x\in(4,6] \end{matrix}\right.
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [0,6] με:
f'(x)=\left\{\begin{matrix} 4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in[0,2) \\ 2& & x\in[2,4]\\ -4(x-3)^3 +6(x-3)^2 & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.
Επίσης αποδεικνύουμε ότι και η f' είναι παραγωγίσιμη στο [0,6] με:
f''(x)=\left\{\begin{matrix} 12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in[0,2) \\ 0& & x\in[2,4]\\ -12(x-3)^2 +12(x-3) & &x\in(4,6] \end{matrix}\right.

Στο [0,2] είναι f'(x)=2(x-3)^2(2x-3).
Η εφαπτομένη της C_{f} στο x_{1}\in[0,\dfrac{3}{2}] είναι y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1}).
Για να διέρχεται η παραπάνω ευθεία από την αρχή των αξόνων πρέπει να ισχύει f(x_{1})=x_{1}f'(x_{1}).
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)-xf'(x). Από θεώρημα Bolzano στην g στο [0,\dfrac{3}{2}] συμπεραίνουμε ότι
υπάρχει x_{1}\in(0,\dfrac{3}{2}) ώστε g(x_{1})=0.
Άρα στο σημείο A(x_{1}, f(x_{1})) η εφαπτομένη της C_{f} διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ομοίως από θεώρημα Bolzano στην g στο [\dfrac{9}{2},5] συμπεραίνουμε ότι υπάρχει x_{2}\in(\dfrac{9}{2}, 5) ώστε g(x_{2})=0.
Συνεπώς και στο σημείο B(x_{2}, f(x_{2})) η εφαπτομένη της C_{f} διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Το σχήμα είναι παρόπμοιο με το προηγούμενο που έδωσα.
Επομένως, περιορίζοντας την συνάρτηση στο [x_{1}, x_{2}] , νομίζω ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις της άσκησης.
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γεωμετρικό συμπέρασμα (;)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 16, 2017 8:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μία βραδινή.
Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, με 0<a<b. Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα σημεία A\left ( a,f(a) \right ) και B\left ( b,f(b) \right ), διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει \xi \in \left ( a,b \right ) τέτοιο ώστε το σημείο M\left ( \xi ,f(\xi ) \right ) να είναι πιθανό σημείο καμπής.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα Μάριε.
Το γεωμετρικό συμπέρασμα είναι:
Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής εκτός αν η γραφική της είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Μένει να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Δυστυχώς αλλά λέει η Ανάλυση
Υπάρχει συνάρτηση με τα παραπάνω χαρακτηριστικά που δεν έχει σημείο καμπής.
Η κατασκευή της βασίζετε στην κατασκευή που έχω προτείνει στο
viewtopic.php?f=9&t=57535

Βάση αυτού,μετατοπίζοντας την συνάρτηση που υπάρχει εκεί, μπορούμε να βρούμε

f:[2,3]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής με f(2)=f(3)=0

και δεν αλλάζει πρόσημο στις ρίζες της που είναι άπειρες(δες την παραπομπή)

Η συνάρτηση είναι r:[1,4]\rightarrow \mathbb{R} με

r(x)=-\frac{x^{3}}{6}+x^{2}+\frac{2}{3},x\in [1,2]

r(x)=\frac{10}{3}+2(x-2)+\int_{2}^{x}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,x\in (2,3)

r(x)=\frac{10}{3}+2+A+(B+2)(x-3)+k(x-3)^{4},x\in [3,4]

όπου A=\int_{2}^{3}\int_{2}^{t}f(s)dsdt,B=\int_{2}^{3}f(t)dt

και k=\dfrac{-4+\frac{10}{3}+A-3B}{15}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες