Ενισχυμένη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Ενισχυμένη
Eστω μια αρχική συνάρτησης για την οποία ισχύει η σχέση με και μια αρχική συνάρτησης για την οποία ισχύει η σχέση
με .
1) Nα προσδιοριστούν οι τύποι των συναρτήσεων
2) Nα μελετηθούν οι ως προς την κυρτότητα και την μονοτονία
3) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική θετική ρίζα
4) Nα υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου μεταξύ της με και της μεταξύ των ευθειών
5) Να λυθεί η ανίσωση
6)
7) Nα υπολογιστούν τα , ,
με .
1) Nα προσδιοριστούν οι τύποι των συναρτήσεων
2) Nα μελετηθούν οι ως προς την κυρτότητα και την μονοτονία
3) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική θετική ρίζα
4) Nα υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου μεταξύ της με και της μεταξύ των ευθειών
5) Να λυθεί η ανίσωση
6)
7) Nα υπολογιστούν τα , ,
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Παρ Μαρ 24, 2017 12:30 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ενισχυμένη
...Δίνω μια σύντομη λύση για τα 3 πρώτα ερωτήματα.
1) Από τη δοθείσα σχέση πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με έχουμε:
. Για η (1) δίνει . Άρα και .
2) Έχουμε , για κάθε . Άρα, η είναι γνησίως αύξουσα στο . Επίσης για κάθε , αφού , για κάθε , άρα η είναι κυρτή στο .
Επίσης, έχουμε , άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο και , άρα η είναι κοίλη.
3) Είναι ισοδύναμη με την , όπου που είναι γν. αύξουσα αφού , για κάθε . Όμως και
, αφού με διπλή εφαρμογή το Κανόνα De L' Hospital έχουμε . Έτσι, το σύνολο τιμών της είναι το
.
Επομένως,η εξίσωση (2) έχει μία ακριβώς θετική ρίζα.
1) Από τη δοθείσα σχέση πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με έχουμε:
. Για η (1) δίνει . Άρα και .
2) Έχουμε , για κάθε . Άρα, η είναι γνησίως αύξουσα στο . Επίσης για κάθε , αφού , για κάθε , άρα η είναι κυρτή στο .
Επίσης, έχουμε , άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο και , άρα η είναι κοίλη.
3) Είναι ισοδύναμη με την , όπου που είναι γν. αύξουσα αφού , για κάθε . Όμως και
, αφού με διπλή εφαρμογή το Κανόνα De L' Hospital έχουμε . Έτσι, το σύνολο τιμών της είναι το
.
Επομένως,η εξίσωση (2) έχει μία ακριβώς θετική ρίζα.
Carpe Diem
Re: Ενισχυμένη
Ευχαριστούμε για τις ωραίες ασκήσεις!
Θα γράψω το συντομότερο μία λύση για τα 5-7.
(Ελπίζω να είναι ΟΚ με Equation)
Το 4 είναι σίγουρα σωστό; Ίσως εγώ δεν καταλαβαίνω κάτι καλά, γιατί με μια πρώτη ματιά δε βλέπω πώς μπορεί να βρεθεί το πρόσημο.
Θα γράψω το συντομότερο μία λύση για τα 5-7.
(Ελπίζω να είναι ΟΚ με Equation)
Το 4 είναι σίγουρα σωστό; Ίσως εγώ δεν καταλαβαίνω κάτι καλά, γιατί με μια πρώτη ματιά δε βλέπω πώς μπορεί να βρεθεί το πρόσημο.
Νίκος Σιώμος
Re: Ενισχυμένη
5) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι και , καθώς τα ολοκληρώματα είναι επίσης παράγουσες των οπότε θα διαφέρουν κατά μία αντίστοιχη σταθερά από τις , που όμως είναι μηδενικές με βάση τα δεδομένα
Στο θέτω και προκύπτει ότι
Η είναι γνησίως αύξουσα από τα προηγούμενα, άρα η ανίσωση γίνεται:
6) H είναι γνησίως αύξουσα, όπως αποδείχθηκε σε προηγούμενο ερώτημα, άρα για κάθε και για κάθε θα ισχύει:
Επειδή δεν ισχύουν παντού οι ισότητες, ολοκληρώνοντας θα έχουμε:
που είναι το ζητούμενο.
7)
Για το πρώτο όριο
Από την ανισότητα που αποδείξαμε στο (6), διαιρώντας με :
Παίρνοντας όρια και εφαρμόζοντας DLH στο αριστερά όριο, από Κ.Π. βρίσκουμε ότι .
Τώρα, αφού , με μια ακόμα εφαρμογή του Κ.Π. έχουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι ίσο με
Για το δεύτερο όριο:
καθώς ο παρονομαστής απειρίζεται.
Για το τρίτο όριο:
Εφαρμόζω ΘΜΤ για την στο διάστημα με .
Υπάρχει ώστε
Επειδή , για από Κ.Π. θα είναι και , άρα θέτοντας το ζητούμενο όριο γίνεται , που με κανόνα DLH κάνει .
Στο θέτω και προκύπτει ότι
Η είναι γνησίως αύξουσα από τα προηγούμενα, άρα η ανίσωση γίνεται:
6) H είναι γνησίως αύξουσα, όπως αποδείχθηκε σε προηγούμενο ερώτημα, άρα για κάθε και για κάθε θα ισχύει:
Επειδή δεν ισχύουν παντού οι ισότητες, ολοκληρώνοντας θα έχουμε:
που είναι το ζητούμενο.
7)
Για το πρώτο όριο
Από την ανισότητα που αποδείξαμε στο (6), διαιρώντας με :
Παίρνοντας όρια και εφαρμόζοντας DLH στο αριστερά όριο, από Κ.Π. βρίσκουμε ότι .
Τώρα, αφού , με μια ακόμα εφαρμογή του Κ.Π. έχουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι ίσο με
Για το δεύτερο όριο:
καθώς ο παρονομαστής απειρίζεται.
Για το τρίτο όριο:
Εφαρμόζω ΘΜΤ για την στο διάστημα με .
Υπάρχει ώστε
Επειδή , για από Κ.Π. θα είναι και , άρα θέτοντας το ζητούμενο όριο γίνεται , που με κανόνα DLH κάνει .
Νίκος Σιώμος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης