Μη διατήρηση κοίλων (2)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Μη διατήρηση κοίλων (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Φεβ 09, 2017 9:12 pm

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\to R με ασύμπτωτη στο -\infty την ευθεία \left( \varepsilon  \right):y=\ell ,\ell \in R και ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία \left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R με k>0 . Αν υπάρχει a\in R ώστε f\left( a \right)<\ell να δειχθεί ότι η f δεν διατηρεί τα κοίλα της στο R

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 10, 2017 12:47 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\to R με ασύμπτωτη στο -\infty την ευθεία \left( \varepsilon  \right):y=\ell ,\ell \in R και ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία \left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R με k>0 . Αν υπάρχει a\in R ώστε f\left( a \right)<\ell να δειχθεί ότι η f δεν διατηρεί τα κοίλα της στο R

Στάθης
Καλησπέρα σου Στάθη

...δίνω μια αντιμετώπιση στο θέμα χρησιμοποιώντας την συνέχεια της {f}'

αν είναι παράνομο...ότι πει ο δημιουργός....

Έστω ότι η f:R\to R διατηρεί τα κοίλα στο R

Αν η f είναι κυρτή στο R σημαίνει (σύμφωνα με το σχολικό) ότι η {f}' είναι γνήσια αύξουσα.

(Τώρα τι συμβαίνει με την {f}' σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος;)

Στο -\infty στα διαστήματα [x-1,\,x],\,[x,\,\,x+1] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν {{x}_{1}}\in (x-1,\,x),\,\,\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,\,x+1)

ώστε να ισχύουν {f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)}\,\,\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} ή

{f}'({{x}_{1}})=f(x)-f(x-1)\,\,\,\,{f}'({{x}_{2}})=f(x+1)-f(x)(1)

και αφού ισχύει {{x}_{1}}<x<{{x}_{2}} λόγω μονοτονίας της {f}' ισχύει ότι \displaystyle{{f}'({{x}_{1}})<{f}'(x)<{f}'({{x}_{2}})} ή f(x)-f(x-1)<{f}'(x)<f(x+1)-f(x)

και επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\ell θα είναι και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x-1)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x+1)=\ell άρα από (1) σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0

Για την συνάρτηση τώρα g(x)=f(x)-kx που ισχύει \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=m αφού ευθεία

\left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f με ανάλογο τρόπο, όπως πριν,

ότι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{g}'(x)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x)-k)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x))=k>0

και επειδή {f}' είναι γνήσια αύξουσα (…αν είναι συνεχής η {f}') είναι {f}'(R)=(0,\,\,k) δηλαδή {f}'(x)>0,\,\,x\in R που σημαίνει

ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο Rκαι f(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(\ell ,\,\,+\infty )

(εύκολα \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty αφού η \left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R είναι ασύμπτωτη στο +\infty με k>0)

που είναι άτοπο αφού υπάρχει a\in R ώστε f\left( a \right)<\ell, άρα δεν μπορεί να είναι κυρτή.

Αν η f είναι κοιλη στο R σημαίνει (σύμφωνα με το σχολικό) ότι η {f}' είναι γνήσια φθίνουσα και ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία προκύπτει ότι

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x))=k>0 και επειδή {f}' είναι γνήσια φθίνουσα (…αν είναι συνεχής η {f}')

είναι {f}'(R)=(k,\,\,0) που είναι άτοπο… επομένως η f δεν διατηρεί τα κοίλα της στο R .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2017 1:43 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\to R με ασύμπτωτη στο -\infty την ευθεία \left( \varepsilon  \right):y=\ell ,\ell \in R και ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία \left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R με k>0 . Αν υπάρχει a\in R ώστε f\left( a \right)<\ell να δειχθεί ότι η f δεν διατηρεί τα κοίλα της στο R

Στάθης
Βασίλη καλό βράδυ και ευχαριστώ για την ενασχόληση . Νομίζω ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια της πρώτης παραγώγου. Ισως να κάνω και λάθος. Ας δούμε το θέμα λίγο διαφορετικά (ελπίζοντας να μην υπάρχει ασάφεια)

\bullet Αν η f είναι κοίλη τότε με \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell η f θα είναι γνησίως φθίνουσα (παρόμοια απόδειξη όπως εδώ ) και επειδή είναι συνεχής στο R θα ισχύει: f\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right),\ell } \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) < \ell ή \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty (που είναι και το σωστό βέβαια και αποδεικνύεται εύκολα από την εφαπτόμενη που βρίσκεται από πάνω της σε κάθε σημείο εκτός του σημείου επαφής και έχει αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης (αφού λόγω της μονοτονίας θα είναι {f}'\left( x \right)\le 0 με μηδενισμό σε μεμονωμένα σημεία…) πράγμα άτοπο αφού από τη πλάγια (με θετικό συντελεστή διεύθυνσης) εύκολα προκύπτει ότι \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ( \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {f\left( x \right) - kx} \right) + kx} \right] \mathop  = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = m \in R,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {kx} \right) =  + \infty }  + \infty).

\bullet Αν η f είναι κυρτή, τότε με \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell η f θα είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι και συνεχής (λόγω της παραγωγισιμότητάς της) θα είναι f\left( R \right) = \left( {\ell ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty } f\left( R \right) = \left( {\ell , + \infty } \right) πράγμα άτοπο αφού \ell >f\left( a \right)\notin \left( \ell ,+\infty  \right)=f\left( R \right).

Φιλικά και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΑΝΑΛΥΤΙΚΑ!!


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2882
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 10, 2017 9:40 am

Καλημέρα Στάθη και Βασίλη.
Λίγο διαφορετικά.
Βήμα 1.
Υπάρχει x_{0}\in \mathbb{R} με f'(x_{0})< 0
Απόδειξη.
Αν f(x)\leq f(a) για x< a τότε l=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)\leq f(a) ΑΤΟΠΟ
Αρα υπάρχει b< a με f(b)> f(a)
Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [b,a] βρίσκουμε x_{0} με f'(x_{0})< 0.
Βήμα 2
Εστω ότι η f είναι κυρτή.
Εχουμε f(x)\geq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})
Παίρνοντας x\rightarrow -\infty προκύπτει ότι \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty
ΑΤΟΠΟ
Βήμα 3
Εστω ότι η f είναι κοίλη.
Εχουμε f(x)\leq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})
Παίρνοντας x\rightarrow \infty προκύπτει ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty.
Εχουμε ΑΤΟΠΟ γιατί λόγω της ασύμπτωτης \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty

Τελικά η f δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Παρ Φεβ 10, 2017 7:53 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\to R με ασύμπτωτη στο -\infty την ευθεία \left( \varepsilon  \right):y=\ell ,\ell \in R και ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία \left( \eta  \right):y=kx+m,k,m\in R με k>0 . Αν υπάρχει a\in R ώστε f\left( a \right)<\ell να δειχθεί ότι η f δεν διατηρεί τα κοίλα της στο R

Στάθης
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά !Μια ακόμα απάντηση:

Ας υποθέσουμε ότι η f διατηρεί τα κοίλα,επομένως η f' θα ναι ή γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Έχουμε :\lim_{x\rightarrow -\infty }(f(x)-f(a))=l-f(a)> 0. Άρα κοντά στο \;-\infty\; έχουμε για k_1<a:

\;f(k_1)-f(a)>0 \Leftrightarrow f(k_1)>f(a)\;\;\;(1)

Το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα \;[k_1\;,\;a]\; μας δίνει ότι: f'(r_{1})=\frac{f(a)-f(k_{1})}{a-k_{1}}< 0\Rightarrow f'(r_{1})< 0 ...(2) για κάποιο r_{1}\in(k_1,a)

Είναι \lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-f(a)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-f(a)-(kx+m)+(kx+m)]=0+\infty =\infty

άρα κοντά στο +\infty είναι για k_2>a : f(k_2)-f(a)>0\Leftrightarrow f(k_2)>f(a)...(3)

Το ΘΜΤ στο διάστημα [a,k_2] δίνει για κάποιο r_2\in(a,k_2):f'(r_2)=\frac{f(k_2)-f(a)}{k_2-a}> 0...(4)

Από (2) και (4) προκύπτει ότι η f' είναι γνησίως αύξουσα.

Η εφαπτομένη στο (r_1,f(r_1)) είναι η y=f'(r_1)x+f(r_1)-r_1f'(r_1) και ισχύει : f(x)\geq f'(r_1)x+f(r_1)-r_1f'(r_1)...(5)

Παίρνοντας όρια στην (5) στο \;-\infty\; έχουμε l\geq+ \infty που είναι άτοπο

Επομένως η f δεν διατηρεί τα κοίλα.


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες