Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Συντονιστής: nkatsipis
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Το παρακάτω προτάθηκε -- με λύση, που εγώ δεν βλέπω -- από τον Δημήτρη Χριστοφίδη (Demetres) στα πλαίσια άλλης συζήτησης (που άρχισε με κάτι σαφώς ευκολότερο) ... και το φέρνω εδώ γιατί νομίζω ότι αξίζει την προσοχή μας:
Aν ο είναι φυσικός και ο είναι πρώτος, τότε
όπου
Π.χ. και
Aν ο είναι φυσικός και ο είναι πρώτος, τότε
όπου
Π.χ. και
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Παραθέτω την λύση: (Υπενθυμίζω ότι ο δεν είναι απαραίτητα πρώτος αλλά ο είναι.)
Είναι άμεσο ότι . Για , γράφοντας για τον αντίστροφό του , έχουμε
Γνωρίζουμε όμως ότι η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις (*) με μία από αυτές να είναι η .
Καθώς το διατρέχει το σύνολο , το ίδιο ισχύει και για το οπότε το διατρέχει το σύνολο . Σε αυτό το σύνολο έχουμε λύσεις της οπότε το ζητούμενο ολοκληρώθηκε.
(*) Επειδή οι πράξεις γίνονται σε σώμα η εξίσωση έχει το πολύ λύσεις. Παρατηρούμε όμως από το μικρό θεώρημα του Fermat ότι οι είναι όλες λύσεις. Ο έλεγχος ότι είναι διακεκριμένες είναι απλός.
Είναι άμεσο ότι . Για , γράφοντας για τον αντίστροφό του , έχουμε
Γνωρίζουμε όμως ότι η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις (*) με μία από αυτές να είναι η .
Καθώς το διατρέχει το σύνολο , το ίδιο ισχύει και για το οπότε το διατρέχει το σύνολο . Σε αυτό το σύνολο έχουμε λύσεις της οπότε το ζητούμενο ολοκληρώθηκε.
(*) Επειδή οι πράξεις γίνονται σε σώμα η εξίσωση έχει το πολύ λύσεις. Παρατηρούμε όμως από το μικρό θεώρημα του Fermat ότι οι είναι όλες λύσεις. Ο έλεγχος ότι είναι διακεκριμένες είναι απλός.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Δημήτρη πολύ όμορφο, ευχαριστούμε!
[Ας δούμε πως λειτουργεί η μέθοδος σου στην περίπτωση : τα τετράγωνα μας δίνουν, , τους ... από τους οποίους αφήνουμε έξω τον , αφαιρούμε από τους υπόλοιπους τον παίρνοντας , επιλύουμε, , τις εξισώσεις ... λαμβάνοντας αντίστοιχα και ελέγχοντας ότι ο είναι όντως παράγων των !]]
[Ας δούμε πως λειτουργεί η μέθοδος σου στην περίπτωση : τα τετράγωνα μας δίνουν, , τους ... από τους οποίους αφήνουμε έξω τον , αφαιρούμε από τους υπόλοιπους τον παίρνοντας , επιλύουμε, , τις εξισώσεις ... λαμβάνοντας αντίστοιχα και ελέγχοντας ότι ο είναι όντως παράγων των !]]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Πράγματι, ο δεν μπορεί να διαιρεί τον , όπου .Demetres έγραψε:(*) Επειδή οι πράξεις γίνονται σε σώμα η εξίσωση έχει το πολύ λύσεις. Παρατηρούμε όμως από το μικρό θεώρημα του Fermat ότι οι είναι όλες λύσεις. Ο έλεγχος ότι είναι διακεκριμένες είναι απλός.
Μπορούμε να επεκτείνουμε την μέθοδο και το αποτέλεσμα του Δημήτρη στην περίπτωση που είναι πρώτος ο ; Ναι αν ο πρώτος δεν διαιρεί τον , όπου . Ότι ο δεν μπορεί να διαιρεί τον όταν προκύπτει εύκολα (όπως στην προηγούμενη παράγραφο). Το ερώτημα λοιπόν είναι αν ο μπορεί να διαιρεί τον όταν , ισοδύναμα αν ο μπορεί να διαιρεί τον για .
Δεν υπάρχει κάποιος προφανής λόγος για να μην ισχύει η παραπάνω διαιρετότητα, και, πράγματι, ήδη για , ισχύει η , με αποτέλεσμα να είναι ίσες, , οι δυνάμεις και . Θα περίμενε κανείς, ακολουθώντας την μέθοδο του Δημήτρη (για την περίπτωση που πρώτος ήταν ο , ενώ εδώ πρώτος είναι ο ), ότι αντί για λύσεις θα υπάρχει μία μόνον λύση της , συγκεκριμένα αυτή που αντιστοιχεί στην ή, ισοδύναμα, , δηλαδή στην και . Παρατηρούμε όμως ότι λύση της αποτελεί και η ... και αυτό επειδή, πολύ απλά, λύση της δεν είναι μόνον η (που αντιστοιχεί στις Fermat ισοδύναμες λύσεις και ) αλλά και η (που δίνει και ). Για φτάνουμε δηλαδή στον μέγιστο δυνατό αριθμό λύσεων της , τον .
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι η μη Fermat λύση είναι 'συμπληρωματική' της Fermat λύσης κατά την έννοια : ισχύει γενικότερα η ισοδυναμία , όπως ισχύει άλλωστε και η ισοδυναμία (εξ ου και οι συμπληρωματικότητες των Fermat λύσεων () της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης).
Στο επόμενο παράδειγμα, , έχουμε και πάλι μία ανεπιθύμητη διαιρετότητα, , για , . Αυτό σημαίνει ότι από τις τρεις Fermat λύσεις χάνουμε την , που είναι ισοδύναμη προς την τετριμμένη και μη αποδεκτή λύση . Έχουμε άραγε μη Fermat λύσεις, όπως στην περίπτωση ; Οι Fermat λύσεις που αντιστοιχούν στις δυνάμεις και είναι, μέσω των και , οι και , οπότε, μέσω της παραπάνω αρχής της συμπληρωματικότητας, λαμβάνουμε και την μη Fermat λύση .
Ο επόμενος για τον οποίο είναι πρώτος ο είναι ο . Έχουμε και πάλι ανεπιθύμητες διαιρετότητες, και ως αποτέλεσμα αυτών τις ανεπιθύμητες ισότητες και . Προκύπτουν με τον γνωστό τρόπο τέσσερις Fermat λύσεις της , οι . Είναι προφανείς οι συμπληρωματικότητες . Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, δεν υπάρχει προφανής (Fermat) λόγος για επιπλέον λύσεις. Υπάρχουν όμως δύο ακόμη μη προβλεπόμενες λύσεις, συμπληρωματικές αλλήλων, οι και . Ο συνολικός αριθμός λύσεων παραμένει ίσος προς .
Επειδή εξακολουθούμε να έχουμε λύσεις και για , τολμώ να διατυπώσω την εξής
ΕΙΚΑΣΙΑ: Αν ο είναι πρώτος τότε υπάρχουν λύσεις της στο .
Παρατήρηση: Γράφοντας τον πρώτο ως γνωρίζουμε από το αρχικό αποτέλεσμα του Δημήτρη ότι υπάρχουν λύσεις της στο . Για παράδειγμα, υπάρχουν, όπως ήδη είδαμε, πέντε λύσεις της στο , αλλά μόνον δύο λύσεις της στο .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος διαιρετών διαφοράς δυνάμεων
Γενικότερα (εικάζω ότι): Αν ο είναι πρώτος τότε υπάρχουν λύσεις της στο .gbaloglou έγραψε:ΕΙΚΑΣΙΑ: Αν ο είναι πρώτος τότε υπάρχουν λύσεις της στο .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες