Αρχιμήδης 2016-2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Αρχιμήδης 2016-2017
Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.
Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 2 Seniors
Αν για τα πολυώνυμα και όπου μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν τότε
Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα συναρτήσει του .
Αν για τα πολυώνυμα και όπου μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν τότε
Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα συναρτήσει του .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 3 Juniors
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Καλησπέρα Γιάννη,
Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα έχουμε ότι
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα που ισχύει.
Φιλικά,
Θράσος
Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα έχουμε ότι
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα που ισχύει.
Φιλικά,
Θράσος
Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 4 Seniors
Αν .
Να λυθεί η εξίσωση στους θετικούς ακεραίους όπου με
συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του
Αν .
Να λυθεί η εξίσωση στους θετικούς ακεραίους όπου με
συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Τρί Ιαν 31, 2017 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 5 Juniors
Ένα τετράγωνο πλευράς διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές του όπου θετικός ακέραιος. 2 παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι.Ο παίκτης Α παίζει με τον αριθμό ενώ ο παίκτης Β με τον αριθμό τους οποίους και θα χρησιμοποιούν στο παιχνίδι. Ο κάθε παίκτης στην σειρά του τοποθετεί τον αριθμό του σε ένα από τα μοναδιαία τετράγωνα της επιλογής του. Δεν επιτρέπεται να τοποθετηθεί αριθμός σε τετράγωνο που έχει ξανατοποθετηθεί αριθμός. Αν κάποιος παίκτης τοποθετήσει έναν αριθμό σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε με την τοποθέτησή του να συμπληρώνεται μία ολόκληρη στήλη,σειρά η διαγώνιος (οποιαδήποτε διαγώνιος, για παράδειγμα τοποθετήσουμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με το να είναι το κάτω αριστερά άκρο του τότε τα σημεία ορίζουν μια διαγώνιο όπως και τα ...) τότε εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται σε αυτήν την στήλη, σειρά ή διαγώνιο. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του τότε ο παίκτης που συμπλήρωσε την στήλη, σειρά ή διαγώνιο χάνει. Διαφορετικά το παιχνίδι συνεχίζεται. Αν συμπληρωθεί ο πίνακας χωρίς να έχει χάσει κάποιος, κερδίζει ο παίκτης που έπαιξε πρώτος μιας και κινδύνευσε μία παραπάνω φορά. Να αποδείξετε πως ο παίκτης που παίζει πρώτος έχει στρατηγική νίκης.
Ένα τετράγωνο πλευράς διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές του όπου θετικός ακέραιος. 2 παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι.Ο παίκτης Α παίζει με τον αριθμό ενώ ο παίκτης Β με τον αριθμό τους οποίους και θα χρησιμοποιούν στο παιχνίδι. Ο κάθε παίκτης στην σειρά του τοποθετεί τον αριθμό του σε ένα από τα μοναδιαία τετράγωνα της επιλογής του. Δεν επιτρέπεται να τοποθετηθεί αριθμός σε τετράγωνο που έχει ξανατοποθετηθεί αριθμός. Αν κάποιος παίκτης τοποθετήσει έναν αριθμό σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε με την τοποθέτησή του να συμπληρώνεται μία ολόκληρη στήλη,σειρά η διαγώνιος (οποιαδήποτε διαγώνιος, για παράδειγμα τοποθετήσουμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με το να είναι το κάτω αριστερά άκρο του τότε τα σημεία ορίζουν μια διαγώνιο όπως και τα ...) τότε εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται σε αυτήν την στήλη, σειρά ή διαγώνιο. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του τότε ο παίκτης που συμπλήρωσε την στήλη, σειρά ή διαγώνιο χάνει. Διαφορετικά το παιχνίδι συνεχίζεται. Αν συμπληρωθεί ο πίνακας χωρίς να έχει χάσει κάποιος, κερδίζει ο παίκτης που έπαιξε πρώτος μιας και κινδύνευσε μία παραπάνω φορά. Να αποδείξετε πως ο παίκτης που παίζει πρώτος έχει στρατηγική νίκης.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Ναι.mikemoke έγραψε:υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
Έχω βρει έναν τύπο, αλλά δυσκολεύομαι να τον κάνω τελείως κλειστό, παρόλο που πιστεύω πως γίνεται.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Όλα τα παραπάνω προβλήματα που έχω φτιάξει έχουν λύση.mikemoke έγραψε:υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
η σκαλα ειναι διαστασεων οπου n εΖ αρα το max τετραγωνο ειναι διαστασεωνΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
εστω m το μεσο σκαλοπατι (το δεξι ακρο του τετραγωνου)
αθροιζω ολουσ τουσ ορουσ κατω απτο μ και επαναλαμβανω την διαδικασια για (προσθετω ολεσ τισ κατακορυφεσ στηλεσ του τmax)
Eτσι εχω
οπου
.
.
.
Αρα αθροιζοντασ τα παραπανω εχω
τι λετε ωσ εδω?
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Δευ Ιαν 30, 2017 12:26 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Ας θέσω και ένα ερώτημα για με βάση το παραπάνω (αν μου το επιτρέπει ο θεματοδότης). Άσκηση 6 Juniors Να βρείτε ποιος αριθμός βρίσκεται στην -οστή γραμμή και στο -oστό σκαλί (τετράγωνο). (Ας αφεθεί για τα καινούργια μέλη μας. )Y.Σ (Η λύση της άσκησης αυτής αποτελεί το πρώτο βήμα για την λύση της αρχικής)Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
Bye :')
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Ο ζητούμενος τύπος είναιΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Ας δώσω μία αναλυτική λύση για την Άσκηση 1
Έστω ο αριθμός που βρίσκεται στην σειρά και στην πρώτη στήλη με και
Τότε παρατηρούμε ότι: . Άρα όπου προκύπτει:
. Το περιέχει πάνω-αριστερά τον αριθμό και κάτω-αριστερά τον
αριθμό . Οπότε το άθροισμα των αριθμών της πρώτης στήλης από τον μέχρι και τον
είναι:.
Τέλος εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κάποιος πως το ζητούμενο άθροισμα με την
βοήθεια του μπορεί να εκφραστεί ως εξής:.
Έστω ο αριθμός που βρίσκεται στην σειρά και στην πρώτη στήλη με και
Τότε παρατηρούμε ότι: . Άρα όπου προκύπτει:
. Το περιέχει πάνω-αριστερά τον αριθμό και κάτω-αριστερά τον
αριθμό . Οπότε το άθροισμα των αριθμών της πρώτης στήλης από τον μέχρι και τον
είναι:.
Τέλος εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κάποιος πως το ζητούμενο άθροισμα με την
βοήθεια του μπορεί να εκφραστεί ως εξής:.
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Τρί Ιαν 31, 2017 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 6 (Seniors)
Αν είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:
Να δείξετε ότι το διαιρεί το
Αν είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:
Να δείξετε ότι το διαιρεί το
τελευταία επεξεργασία από matha σε Δευ Ιαν 30, 2017 1:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:
2) Να βρεθεί ένας πρώτος διαιρέτης του αριθμού:
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:
2) Να βρεθεί ένας πρώτος διαιρέτης του αριθμού:
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
1)Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 8 Juniors
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση:
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση:
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία , ορίζεται από την σχέση:
με .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν και τότε
Η ακολουθία , ορίζεται από την σχέση:
με .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν και τότε
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.
Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες