Χρήστο κατά την γνώμη μου και τυπικά μιλώντας δεν θεωρείται γνωστό.
Το σχολικό βιβλίο κανει μια νύξη στην σελίδα 136 χια την
.
Το γενικό συμπέρασμα (νομίζω ότι η συνέχεια στα άκρα του διαστήματος δεν χρειάζεται σαν υπόθεση) έχει δύο βασικά επιχειρήματα
α) ότι για μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σε ένα διάστημα
ο λόγος μεταβολής της είναι θετικός.
β) το όριο μιας θετικής συνάρτησης είναι μη αρνητικό.
και επομένως είναι αρκετά σύνθετο για να θεωρηθεί άμεσο στο σχολικό επίπεδο.
Τώρα αν το χρησιμοποιήσει ένας μαθητής σε γραπτό και το τι χειρισμός θα γίνει από τους βαθμολογητές είναι είναι άλλο θέμα. Συνήθως σε τέτοιου είδους ζητήματα δεν υπάρχει αυτοματισμός.
Θεωρώ ότι καλό είναι να δίνεται η απόδειξη αυτή στην τάξη. Προσωπικά την έδινα πάντα. Διότι πέρα από το πληροφοριακό στοιχείο παρουσιάζει και ενδιαφέρον στο ακόλουθο σημείο. Έχουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Ξέρουμε ότι η παράγωγος της είναι μη αρνητική. Έχουμε λοιπόν "απώλεια" πληροφορίας. Διότι αν αρκεσθούμε στο πρόσημο της παραγώγου το συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι η συνάρτηση είναι απλώς αύξουσα (πάλι κατά την γνώμη μου καλό είναι να διδάσκουμε και την συνεπαγωγή
).
Ας σημειωθεί ότι το σχολικό επιτρέπει στους μαθητές να συμπεράνουν ότι αν μια συνάρτηση έχει μη αρνητική παράγωγο η οποία μηδενίζεται σε "μεμονωμένα¨σημεία τότε είναι γνησίως αύξουσα.
Μια ενδιαφέρουσα άσκηση που δεν απέφευγα να κάνω ήταν η εξής:
Δείξτε ότι αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα έχει μη αρνητική παράγωγο τότε είναι γνησίως αύξουσααν και μόνο αν το σύνολο των σημείων που η παράγωγος της μηδενίζεται δεν περιέχει διάστημα.
Μαυρογιάννης
είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα 
καθώς και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος 
για κάθε 
.
