Συνάρτηση
Συντονιστής: Demetres
Συνάρτηση
Καλησπέρα. Ψάχνοντας έπεσα πάνω σε μία άσκηση του ανοιχτού πανεπιστημίου. Θα ήθελα να ρωτήσω μπορεί να ισχύει κάτι τέτοιο;
Έστω η απεικόνιση , , ώστε για κάθε , ισχύει:
Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Έστω η απεικόνιση , , ώστε για κάθε , ισχύει:
Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
Ναι ισχύει και είναι πολύ απλό στην απόδειξή του.Σπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση , , ώστε για κάθε , ισχύει:
Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Πρέπει εξ ορισμού να δείξεις
και
Και τα δύο είναι άμεσα αν αντικαταστήσεις τα με τον ορισμό τους.
Το αφήνω να το δεις, ώστε να συνηθίσεις/ξεκαθαρίσεις ποιο είναι το ζητούμενο.
Και συνεχίζω βάζοντας άσκηση:
Να βρεθεί ο πίνακας του , ως προς την κανονική βάση.
Re: Συνάρτηση
Ας προσθέσω και εγώ ένα ερώτημα.
Να εξετάσετε αν η γραμμική απεικόνιση είναι γραμμικός ισομορφισμός.
Φιλικά,
Μάριος
Να εξετάσετε αν η γραμμική απεικόνιση είναι γραμμικός ισομορφισμός.
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Re: Συνάρτηση
Ευχαριστώ.
Είναι αρκετά εύκολο να αποδείξουμε ότι η είναι γραμμική το ξέρω. Η διατύπωση όμως της άσκησης μου φάνηκε περίεργη.
Όσον αφορά τα ερωτήματα που θέσατε, είναι αρκετά εύκολα. Έτσι:
1) Ο πίνακας είναι ο
2) Η είναι ισομορφισμός, αφού (είναι σωστή η γραφή;).
Είναι αρκετά εύκολο να αποδείξουμε ότι η είναι γραμμική το ξέρω. Η διατύπωση όμως της άσκησης μου φάνηκε περίεργη.
Όσον αφορά τα ερωτήματα που θέσατε, είναι αρκετά εύκολα. Έτσι:
1) Ο πίνακας είναι ο
2) Η είναι ισομορφισμός, αφού (είναι σωστή η γραφή;).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
1) Προσοχή, στο έχεις τυπογραφικές αβλεψίες. Το σωστό είναιΣπύρος98 έγραψε: 1) Ο πίνακας είναι ο
2) Η είναι ισομορφισμός, αφού (είναι σωστή η γραφή;).
2) To 2) που γράφεις είναι σωστό αλλά να και ένας άλλος τρόπος: Ο είναι διότι εύκολα βλέπουμε ότι αν
τότε .
Τρίτος τρόπος είναι να δείξουμε ότι ο είναι επί (σχεδόν άμεσο). Και στα δύο χρησιμοποιώ ότι τα πεδία ορισμού και τιμών είναι ίδια.
Re: Συνάρτηση
Κύριε Μιχάλη, μια ερώτηση.
Η εκφώνηση δεν θα έπρεπε να λέει "και για κάθε ";
Η εκφώνηση δεν θα έπρεπε να λέει "και για κάθε ";
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνάρτηση
Μάριε η αρχική εκφώνηση το λέει.M.S.Vovos έγραψε:Κύριε Μιχάλη, μια ερώτηση.
Η εκφώνηση δεν θα έπρεπε να λέει "και για κάθε ";
Re: Συνάρτηση
Εννοώ να χρησιμοποιήσει τον ποσοδείκτη.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
Μάριε,M.S.Vovos έγραψε:Εννοώ να χρησιμοποιήσει τον ποσοδείκτη.
Ουσιαστικά η εκφώνηση λέει: " Έστω οποιοσδήποτε φυσικός ... "
Στο σημείο που κοκκίνισα υπάρχει ποσοδείκτης.
Αν θέλουμε πιο φορμαλιστικά, λέμε:" με , ορίζουμε ... "
Μην μπλέκουμε το παραπάνω με αυτό που δεν είναι σαφές ποιος είναι ο ποσοδείκτης. Στο παραπάνω δεν αμφιβάλει κανείς, παρά την ελλειπή διατύπωση.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
Και μία ακόμη ερώτηση προς τον Σπύρο:
Κατόπιν βρες τον πίνακα του
Αφού είδαμε ότι είναι ισομορφισμός, βρες την αντίστροφη δηλώνοντας την εικόνα τουΣπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση , , ώστε για κάθε , ισχύει:
Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Κατόπιν βρες τον πίνακα του
Re: Συνάρτηση
Για τα , με και τον τύπο της γραμμικής απεικόνισηςMihalis_Lambrou έγραψε:Και μία ακόμη ερώτηση προς τον Σπύρο:
Αφού είδαμε ότι είναι ισομορφισμός, βρες την αντίστροφη δηλώνοντας την εικόνα τουΣπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση , , ώστε για κάθε , ισχύει:
Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Κατόπιν βρες τον πίνακα του
προκύπτει ότι:
Επομένως ο αντίστροφος τελεστής θα είναι της μορφής .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
Οι στάνταρ ερωτήσεις θα ήσαν: Για τους , , καιΣπύρος98 έγραψε:Κάτι πιο δύσκολο σε αυτή την άσκηση τι θα μπορούσε να είναι;
α) Να βρείς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μαζί με τις αλγεβρικές και γεωμετρικές τους πολλαπλότητες,
β) Να βρεις το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο,
γ) Να βρεις τους αναλλοίωτους υπόχωρους, δηλαδή , καθώς και εκείνους που επιπλέον και ο είναι αναλλοίωτος υπόχωρος,
δ) Να εξετάσεις αν διαγωνοποιείται και πώς,
ε) Να βρεις την κανονική μορφή Jordan,
στ) Να βρεις τους τελεστές με τους οποίους αντιμετατίθεται,
ζ) Να βρεις τους ,
και πολλά άλλα.
Σε δεύτερη φάση θα δώσω και πιο δύσκολα ερωτήματα. Ας αρχίσεις από το στ).
Re: Συνάρτηση
Κ. Λάμπρου ευχαριστώ για τα ερωτήματα. Όμως, δεν μπορώ να τα απαντήσω αφού η ύλη στην οποία αναφέρονται είναι Γραμμικής ΙΙ, που είναι στο 2ο εξάμηνο.Mihalis_Lambrou έγραψε:Οι στάνταρ ερωτήσεις θα ήσαν: Για τους , , καιΣπύρος98 έγραψε:Κάτι πιο δύσκολο σε αυτή την άσκηση τι θα μπορούσε να είναι;
α) Να βρείς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μαζί με τις αλγεβρικές και γεωμετρικές τους πολλαπλότητες,
β) Να βρεις το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο,
γ) Να βρεις τους αναλλοίωτους υπόχωρους, δηλαδή , καθώς και εκείνους που επιπλέον και ο είναι αναλλοίωτος υπόχωρος,
δ) Να εξετάσεις αν διαγωνοποιείται και πώς,
ε) Να βρεις την κανονική μορφή Jordan,
στ) Να βρεις τους τελεστές με τους οποίους αντιμετατίθεται,
ζ) Να βρεις τους ,
και πολλά άλλα.
Σε δεύτερη φάση θα δώσω και πιο δύσκολα ερωτήματα. Ας αρχίσεις από το στ).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συνάρτηση
Ωραία. Κάνε μόνο την στ) που είναι στις μέχρι τώρα γνώσεις σου. Για ευκολία κάνε την για την περίπτωση αλλά ας την εμπλουτίσω λίγο, οπότε την αναδιατυπώνω:Σπύρος98 έγραψε: Όμως, δεν μπορώ να τα απαντήσω αφού η ύλη στην οποία αναφέρονται είναι Γραμμικής ΙΙ, που είναι στο 2ο εξάμηνο.
α) Για το παραπάνω (αλλά με ), να βρεθoύν όλοι οι πίνακες με
β) Να αποδειχθεί ότι όλοι οι πίνακες της μορφής (δηλαδή τα πολυώνυμα του ), όπου ο ταυτοτικός, είναι πίνακες που ικανοποιούν την α).
γ) Πέρα από τα πολυώνυμα του υπάρχουν άλλοι πίνακες που ικανοποιούν την α);
Ίδια εργασία για τον και τον (εδώ ο ανάστροφος, δηλαδή οι γραμμές του να γίνουν στήλες).
δ) Οι πίνακες που ικανοποιούν την α) για τον είναι οι ίδιοι για τους ανίστοιχους που ικανοπούν την α) για τον ;
ε) Είναι ο ίσος με πολυώνυμο του ;
Η άσκηση είναι απλή, αλλά έχει κάποιες πράξεις. Με γνώση περισσότερης θεωρίας λύνεται και χωρίς πολλές πράξεις. Π.χ. το δ) μπορείς να το απαντήσεις αμέσως τώρα χωρίς καθόλου πράξεις, και πριν κάνεις τα προηγούμενα υποερωτήματα.
Καλό... χαρτί και μολύβι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες