ΘΜΤ και όριο παραγουσών

evitakron · #1

Καλησπέρα! Σε ερώτηση μαθητή για τον υπολογισμό του ορίου $\lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))$ όπου $f(x)=\frac{x+1}{^{\sqrt{x^2+1}}}$ , βρίσκοντας $\xi \epsilon (x,x+1)$ με ΘΜΤ θεώρησε το $f\left ( \xi \right )$ ως συνάρτηση και έγραψε $\lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))=\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...=1$ . Ποια είναι η ενδεδειγμένη απάντηση;

#2

Πρώτο πρόβλημα εδώ:

evitakron έγραψε: $\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...={\color {red}1}$

Η σωστή απάντηση είναι

evitakron · #3

Ναι, σωστά κ. Λάμπρου το όριο είναι 0.. Πέρα από το αποτέλεσμα όμως, ποια θα ήταν η αιτιολόγηση για να απορρίψουμε τέτοια προσέγγιση;

#4

evitakron έγραψε:ποια θα ήταν η αιτιολόγηση για να απορρίψουμε τέτοια προσέγγιση;

Δεν είναι εσφαλμένη η προσέγγιση για να την απορρίψουμε. Απλά δεν είναι ο καλύτερος τρόπος και ίσως κάποιο βήμα θα ήθελε περισσότερη αιτιολόγιση.

Συγκεκριμένα, αφού $F(x) \to 1$ (άμεσο) και άρα $F(x+1) \to 0$ (απλό), έχουμε $F(x+1)- F(x) \to 1-1=0.$ Αυτή είναι η καλύτερη λύση.

Τώρα, για την δοθείσα λύση η περισσότερη αιτιολόγιση που χρειάζεται, είναι η εξής: Θέλουμε να μελετήσουμε το όριο $\displaystyle{\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))}$ . Εδώ το $\xi$ είναι συνάρτηση του

και άρα δεσμευμένο (και μπορεί να μην είναι μοναδικό), οπότε έχουμε όριο σύνθεσης συναρτήσεων.

Το σωστό λοιπόν είναι να πούμε. Εξετάζω τώρα το $\displaystyle{\lim_ {x \rightarrow +\infty} (f(x))}$ (με

όχι $\xi$ ). Το όριο αυτό ισούται .... με

. Από αυτό έπεται ότι και το όριο με $\xi(x)$ υπάρχει και είναι

. Το τελευταίο θέλει απόδειξη, και ο σωστός τρόπος είναι από τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου. Όμως διαισθητικά είναι φανερό και ως απάντηση μαθητή (αλλά όχι φοιτητή) θα το δεχόμουν. Ο λόγος είναι ότι η έννοια του ορίου είναι έτσι και αλλιώς κάπως διαισθητική στο Σχολείο, και μάλιστα στο ίδιο επίπεδο με το παραπάνω ζητούμενο. Οπότε ο μαθητής δεν αμαρτάνει.

Edit. Διόρθωσα δευτερεύον τυπογραφικό.

evitakron · #5

Σας ευχαριστώ πολύ κ. Λάμπρου για την πλήρη και σαφή απάντηση.

#6

evitakron έγραψε:Καλησπέρα! Σε ερώτηση μαθητή για τον υπολογισμό του ορίου $\lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))$ όπου $f(x)=\frac{x+1}{^{\sqrt{x^2+1}}}$ , βρίσκοντας $\xi \epsilon (x,x+1)$ με ΘΜΤ θεώρησε το $f\left ( \xi \right )$ ως συνάρτηση και έγραψε $\lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))=\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...=1$ . Ποια είναι η ενδεδειγμένη απάντηση;

Ούπς, από λάθος μου αντέστρεψα τους ρόλους των

και

.

Έτσι η απάντηση $\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...={ \color {red} 1}$

είναι σωστή (και όχι η διόρθωση που πρότεινα).

Αυτά που έγραψα περί ορίων με χρήση του $\xi (x)$ παραμένουν σωστά, ανεξάρτητα από την αβλεψία μου.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη Σκουτέρη (dement) και τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση. Βέβαια και στους δύο, όπως και στο έτερο Δημήτρη, δεν ξεφεύγει τίποτα...

ΘΜΤ και όριο παραγουσών

ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Μέλη σε σύνδεση